Bergman uzayı

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Bergman uzayı kompleks koordinat uzayının bir D bölgesinde tanımlı holomorf fonksiyonlardan oluşan bir fonksiyon uzayıdır. Uzay, Stefan Bergman'ın adını taşımaktadır. Daha matematiksel bir ifadeyle, Bergman uzayı olan $A^{p}(D)$, $D$ üzerinde tanımlı ve p-normu sonlu olan holomorf fonksiyonlardan oluşmaktadır.

Gösterim hakkında

Bergman uzaylarının gösterimi hakkında bir uzlaşım yoktur. Karmaşık düzlemdeki analitik fonksiyonlar çalışıldığında $L_{\alpha }^{p}(D)$ ya da $L_{a}^{p}(D)$ gösterimi yaygındır; buradaki, $\alpha$ ya da $a$ harfi fonksiyonun analitik (holomorf fonksiyonların analitikliği maddesine bakınız) olduğunu simgelemek için eklenmiştir. Alt ve üst indekslerin başka özellikler için kullanılması gerektiği durumlarda, kullanımının zorluk çıkarmayacağı düşünülerek $A^{p}(D)$ veya ${\mathcal {A}}^{p}(D)$ de kullanılmaktadır.

Tanımı

$D\subset \mathbb {C} ^{n}$ açık küme, $dV$ ise $D$ üzerindeki Öklid hacim formu olsun. $0<p<\infty$ için $L^{p}(D)$ Lebesgue uzayı ve ${\mathcal {O}}(D)$ de $D$ üzerinden tanımlı holomorf fonksiyonlar olmak üzere

$A^{p}(D):=L^{p}(D)\cap {\mathcal {O}}(D)$

şeklinde tanımlanan ve $L^{p}(D)$ uzayının normunu alan uzaya $D$ üzerinde tanımlı Bergman uzayı denir. Diğer deyişle, $f$ fonksiyonunun Bergman uzayında olması için,

• $f$ inin holomorf olması
• Aşağıdaki gibi tanımlı $L^{p}(D)$'de olma koşulunu sağlaması gerekir:

$\Vert f\Vert _{A^{p}(D)}=\left(\int _{D}|f(z)|^{p}dV(z)\right)^{1/p}<\infty .$

$p=2$ olmadığı durumlarda, bazen bu duruma vurgu yapmak için p-Bergman uzayı ifadesi de kullanılır.

Özellikler

• Yukarıda verilen $\Vert \cdot \Vert _{A^{p}(D)}$ tanımı ancak $p\geq 1$ ise gerçek bir normdur.
• $p=2$ olduğu durumlarda uzay üzerinde iç çarpım şu şekilde belirlenebilir:

$\langle f,g\rangle :=\int _{D}f(z){\overline {g(z)}}dV(z).$ O zaman $A^{2}(D)$ bir doğuran çekirdekli Hilbert uzayıdır ve çekirdeği de Bergman çekirdeği tarafından belirlenir.

• $p\geq 1$ ise, Bergman uzayları Banach uzayıdır. Bu sonuç, $D$'nin tıkız bir $K$ altkümesi üzerindeki şu kestirimin bir sonucu olarak elde edilebilir:

$\sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{p}(D)}.$

Bu yüzden, $L^{p}(D)$'deki holomorf fonksiyonlar dizisinin yakınsaklığı ayrıca bu dizinin tıkız yakınsak olduğunu verir. Böylece, limit fonksiyonu da holomorftur.

Kaynakça

• Duren, Peter L.; Schuster, Alexander (2004), Bergman spaces, Mathematical Series and Monographs, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0810-8 
• Richter, Stefan (2001), "Bergman spaces", Hazewinkel, Michiel (Ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104