Disk çarpımı

Matematiğin bir kolu olan, birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisinde bir çoklu disk ya da polidisk disklerin Kartezyen çarpımıdır.

Tanım

Karmaşık düzlemde z noktası merkezli ve r yarıçaplı açık disk $D(z,r)$ ile gösterilirse, o zaman açık polidisk, $\mathbb {C} ^{n}$'de aşağıdaki biçime sahip bir kümedir:

$D(z_{1},r_{1})\times \dots \times D(z_{n},r_{n}).$

Daha matematiksel bir ifadeyle $z=(z_{1},z_{2},\cdots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}$ merkezli ve $r=(r_{1},r_{2},\cdots ,r_{n})\in \left(\mathbb {R} ^{+}\right)^{n}$ çoklu yarıçaplı bir polidisk $P(z,r)$ aşağıdaki gibi tanımlanır:

$P(z,r)=\{w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})\in {\mathbf {C} }^{n}\mid \vert z_{k}-w_{k}\vert <r_{k},\forall k=1,\dots ,n\}$

Eğer merkez noktası $z$ orijinse ve $r=(1,1,\cdots ,1)$ ise, polidiske birim polidisk denilir. Ayrıca, $n=2$ olduğunda, polidisklere bazen bidisk denilir.

Notlar

• Polidisk, Cⁿ'deki $\{w\in \mathbf {C} ^{n}\mid \lVert z-w\rVert <r\}$ olarak tanımlanan açık yuvar ile karıştırılmamalıdır. Burada norm, Cⁿ'deki Öklid uzaklığıdır.
• $n>1$ olduğunda, açık yuvarlar ve açık polidiskler biholomorf olarak denk değildir, yani ikisi arasında biholomorf gönderim yoktur. Bu sonuç, 1907'de Poincaré tarafından ikisinin otomorfizm grubunun Lie grubu olarak değişik boyutlara sahip olduğu gösterilerek kanıtlanmıştır. Burada, Poincaré'nin elde ettiği sonuç (Poincaré teoremi), karmaşık düzlemde varolan Riemann tasvir teoreminin yüksek kompleks boyutlara taşınmasının akla gelen en basit iki bölge arasında bile olmayacağını göstermektedir. Daha sonra başka metotlarla daha basit kanıtları elde edilen bu sonuç, bir boyutlu geleneksel karmaşık analizdeki her sonucun çok değişkenli karmaşık analizde geçerli olmayacağını Hartogs teoremiyle beraber gösteren ilk sonuçlardandır.

Ayrıca bakınız

• Analitik çokyüzlü

Kaynakça

• Steven G Krantz, Function Theory of Several Complex Variables, American Mathematical Society, 2002, ISBN 0-8218-2724-3.
• John P D'Angelo, D'Angelo P D'Angelo, Several Complex Variables and the Geometry of Real Hypersurfaces, CRC Press, 1993, ISBN 0-8493-8272-6.