Sinyal Gürültü Oranı

Sinyal-gürültü oranı (kısaltılmış SNR veya S / N) bilim ve mühendislikte kullanılan, istenen bir sinyalin seviyesini arka plandaki gürültü seviyesiyle karşılaştıran bir ölçüdür. SNR, sinyal gücünün gürültü gücüne oranı olarak tanımlanır, genellikle desibel cinsinden ifade edilir. 1: 1'den yüksek bir oran (0 dB'den büyük bir oran) gürültüden daha fazla sinyal olduğunu gösterir.

SNR, elektrik sinyalleri için yaygın olarak alıntılanırken, herhangi bir sinyal formuna, örneğin bir buz çekirdeğindeki izotop seviyelerine, hücreler arasındaki biyokimyasal sinyale veya finansal ticaret sinyallerine uygulanabilir. Sinyal-gürültü oranı bazen yararlı bilgilerin bir konuşma veya takastaki yanlış veya alakasız verilere oranını ifade etmek için mecazi olarak kullanılır. Örneğin, çevrimiçi tartışma forumlarında ve diğer çevrimiçi topluluklarda, konu dışı gönderiler ve spam, uygun tartışmanın "sinyaline" müdahale eden "gürültü" olarak kabul edilir.^[1]

Bir iletişim kanalının sinyal / gürültü oranı, bant genişliği ve kanal kapasitesi Shannon-Hartley teoremi ile açıklanır.

Tanım

Sinyal-gürültü oranı, bir sinyalin gücünün (anlamlı giriş) arka plan gürültüsünün gücüne (anlamsız veya istenmeyen giriş) oranı olarak tanımlanır:

\mathrm {SNR} ={\frac {P_{\mathrm {signal} }}{P_{\mathrm {noise} }}},

burada $P$ ortalama güçtür. Hem sinyal hem de gürültü gücü, bir sistemdeki aynı veya eşdeğer noktalarda ve aynı sistem bant genişliği içinde ölçülmelidir.

Sinyalin bir sabit ( $s$ ) veya rastgele bir değişken ( $S$ ) olmasına bağlı olarak, rastgele gürültü $N$ için sinyal / gürültü oranı:^[2] $\mathrm {SNR} ={\frac {s^{2}}{\mathrm {E} [N^{2}]}}$

burada E, beklenen değere, yani bu durumda $N$ ortalama karesine karşılık gelir ;

\mathrm {SNR} ={\frac {\mathrm {E} [S^{2}]}{\mathrm {E} [N^{2}]}}

Gürültü, ortak değerde olduğu gibi sıfır değerine sahipse, payda varyansıdır, standart sapması $σ N$ karesidir.

Sinyal ve gürültü aynı şekilde ölçülmelidir, örneğin aynı empedanstaki voltajlar gibi. Kök ortalama kareler alternatif olarak aşağıdaki oranda kullanılabilir:

\mathrm {SNR} ={\frac {P_{\mathrm {signal} }}{P_{\mathrm {noise} }}}=\left({\frac {A_{\mathrm {signal} }}{A_{\mathrm {noise} }}}\right)^{2},

burada $A$ , kök ortalama kare (RMS) genliğidir (örneğin RMS voltajı).

Desibel

Birçok sinyalin çok geniş bir dinamik aralığı olduğundan, sinyaller genellikle logaritmik desibel ölçeği kullanılarak ifade edilir. Desibel tanımına bağlı olarak, sinyal ve gürültü desibel (dB) olarak şu şekilde ifade edilebilir:

P_{\mathrm {signal,dB} }=10\log _{10}\left(P_{\mathrm {signal} }\right)

ve

P_{\mathrm {noise,dB} }=10\log _{10}\left(P_{\mathrm {noise} }\right).

Benzer bir şekilde, SNR desibel cinsinden:

\mathrm {SNR_{dB}} =10\log _{10}\left(\mathrm {SNR} \right).

SNR'nin tanımını kullanarak:

\mathrm {SNR_{dB}} =10\log _{10}\left({\frac {P_{\mathrm {signal} }}{P_{\mathrm {noise} }}}\right).

Logaritmalarda bölüm kuralını kullanarak:

10\log _{10}\left({\frac {P_{\mathrm {signal} }}{P_{\mathrm {noise} }}}\right)=10\log _{10}\left(P_{\mathrm {signal} }\right)-10\log _{10}\left(P_{\mathrm {noise} }\right).

Desibel cinsinden SNR, sinyal ve gürültü tanımlarını yukarıdaki denkleme koymak, sinyal ve gürültü de desibelde olduğunda, desibel cinsinden sinyal / gürültü oranını hesaplamak için önemli bir formül sağlar:

\mathrm {SNR_{dB}} ={P_{\mathrm {signal,dB} }-P_{\mathrm {noise,dB} }}.

Yukarıdaki formülde P, watt (W) veya miliwatt (mW) gibi güç birimlerinde ölçülür ve sinyal / gürültü oranı saf bir sayıdır.

Bununla birlikte, sinyal ve gürültü, genlik ölçüsü olan volt (V) veya amper (A) cinsinden ölçüldüğünde, aşağıda gösterildiği gibi ilk önce güçle orantılı bir miktar elde etmek için kareler alınmalıdır:

\mathrm {SNR_{dB}} =10\log _{10}\left[\left({\frac {A_{\mathrm {signal} }}{A_{\mathrm {noise} }}}\right)^{2}\right]=20\log _{10}\left({\frac {A_{\mathrm {signal} }}{A_{\mathrm {noise} }}}\right)=\left({A_{\mathrm {signal,dB} }-A_{\mathrm {noise,dB} }}\right).

Dinamik aralık

Sinyal-gürültü oranı ve dinamik aralık kavramları yakından ilişkilidir. Dinamik aralık, bir kanaldaki en güçlü bozulmamış sinyal ile çoğu durumda gürültü seviyesi olan minimum fark edilebilir sinyal arasındaki oranı ölçer. SNR, rastgele bir sinyal seviyesi (mümkün olan en güçlü sinyal olması gerekmez) ile gürültü arasındaki oranı ölçer. Sinyal-gürültü oranlarının ölçülmesi, bir temsili veya referans sinyalinin seçilmesini gerektirir. Ses mühendisliğinde referans sinyali genellikle standart bir nominal veya hizalama seviyesinde sinüs dalgasıdır, örneğin 1 kHz +4 dBu'da (1.228 V _RMS).

SNR genellikle, ortalama bir sinyal / gürültü oranını belirtmek için alınır, çünkü anlık sinyal / gürültü oranlarının (neredeyse) oldukça farklı olması mümkündür. Kavram, gürültü seviyesini 1 (0 dB) seviyesine normalize etmek ve sinyalin 'ne kadar öne çıktığını' ölçmek olarak anlaşılabilir.

Konvansiyonel güçten farkı

Fizikte, bir AC sinyalinin ortalama gücü, voltaj zaman akımının ortalama değeri olarak tanımlanır; voltaj ve akımın fazda olduğu dirençli (reaktif olmayan) devreler için, bu rms voltajı ve akımının ürününe eşdeğerdir:

\mathrm {P} =V_{\mathrm {rms} }I_{\mathrm {rms} }

\mathrm {P} ={\frac {V_{\mathrm {rms} }^{2}}{R}}=I_{\mathrm {rms} }^{2}R

Ancak sinyal işleme ve iletişimde, genellikle $R=1\Omega$ ^{[kaynak belirtilmeli]} bir sinyalin güç ya da enerji ölçüm sırasında bu faktör genellikle dahil değildir bu Bu, okuyucular arasında biraz karışıklığa neden olabilir, ancak direnç faktörü, sinyal işlemede gerçekleştirilen tipik işlemler veya güç oranlarının hesaplanması için önemli değildir. Çoğu durumda, bir sinyalin gücü basit olarak kabul edilir.

\mathrm {P} =V_{\mathrm {rms} }^{2}={\frac {A^{2}}{2}}

burada 'A', AC sinyalinin genliğidir. ^{[netleştirme gerekli]}

Alternatif tanım

SNR'nin alternatif bir tanımı, varyasyon katsayısının çift yönlülüğü, yani bir sinyalin veya ölçümün ortalamasının standart sapmasına oranıdır:^[3]^[4] $\mathrm {SNR} ={\frac {\mu }{\sigma }}$

burada $\mu$ sinyal ortalaması veya beklenen değerdir, $\sigma$ ise gürültünün standart sapması veya bunun bir tahminidir.^{[note 1]} Böyle bir alternatif tanımın sadece her zaman negatif olmayan değişkenler için yararlı olduğuna dikkat edin (foton sayısı ve parlaklık gibi). Genellikle görüntü işlemede kullanılır,^[5]^[6]^[7]^[8] burada bir görüntünün SNR'si genellikle ortalama piksel değerinin belirli bir mahalle üzerindeki piksel değerlerinin standart sapmasına oranı olarak hesaplanır.

Bazen SNR, yukarıdaki alternatif tanımın karesi olarak tanımlanır, bu durumda daha yaygın tanıma eşdeğerdir:

\mathrm {SNR} ={\frac {\mu ^{2}}{\sigma ^{2}}}

Bu tanım, sinyalin sinyal genliği ile ayrılmış iki durumu olduğunu varsayarsak hassasiyet indeksi veya d ' ile yakından ilgilidir. $\mu$ ve gürültü standart sapması $\sigma$ iki durum arasında değişmez.

Rose kriteri (Adını Albert Rose'dan almıştır), görüntü özelliklerini kesin olarak ayırt edebilmek için en az 5 SNR'ye ihtiyaç duyulduğunu belirtir. 5'ten düşük bir SNR, görüntü ayrıntılarının tanımlanmasında % 100'den az kesinlik anlamına gelir.^[4]^[9]

Görüntüleme sistemlerinin duyarlılığını karakterize etmek için başka bir alternatif, çok spesifik ve farklı SNR tanımı kullanılır; bkz. Sinyal-gürültü oranı (görüntüleme) .

İlgili ölçüler, " kontrast oranı " ve " kontrast / gürültü oranı " dır .

Modülasyon sistemi ölçümleri

Genlik modülasyonu

Kanal sinyal gürültü oranı:

\mathrm {(SNR)_{C,AM}} ={\frac {A_{C}^{2}(1+k_{a}^{2}P)}{2WN_{0}}}

burada W bant genişliği ve $k_{a}$ modülasyon indeksi

Çıkış sinyal-gürültü oranı (AM alıcısının):

\mathrm {(SNR)_{O,AM}} ={\frac {A_{c}^{2}k_{a}^{2}P}{2WN_{0}}}

Frekans modülasyonu

Kanal sinyal-gürültü oranı:

\mathrm {(SNR)_{C,FM}} ={\frac {A_{c}^{2}}{2WN_{0}}}

Çıkış sinyal-gürültü oranı:

\mathrm {(SNR)_{O,FM}} ={\frac {A_{c}^{2}k_{f}^{2}P}{2N_{0}W^{3}}}

Uygulamada SNR'nin iyileştirilmesi

Tüm gerçek ölçümler gürültüden rahatsız olur. Bu, elektronik gürültüyü içerir, ancak ölçülen fenomeni etkileyen dış olayları da içerebilir - rüzgar, titreşimler, ayın kütleçekim etkisi, sıcaklık değişimleri, nem değişimleri, vb., Ölçülen ve cihazın hassasiyetine bağlı olarak . Ortamı kontrol ederek gürültüyü azaltmak genellikle mümkündür. Aksi takdirde, gürültünün özellikleri bilindiğinde ve sinyallerden farklı olduğunda, sesi filtrelemek veya sinyali işlemek mümkündür.

Örneğin, bazen çok dar bir bant genişliği içinde sinyali modüle etmek ve sınırlamak için bir kilitleme amplifikatörü kullanmak ve daha sonra tespit edilen sinyali bulunduğu dar banda filtrelemek, böylece geniş bant gürültüsünün çoğunu ortadan kaldırmak mümkündür.

Sinyal sabit veya periyodik olduğunda ve gürültü rastgele olduğunda, ölçümlerin ortalamasını alarak SNR'yi geliştirmek mümkündür. Bu durumda gürültü, ortalama örnek sayısının kare kökü olarak azalır.

Ayrıca, elektronik sistemlerin dahili gürültüsü düşük gürültülü amplifikatörler ile azaltılabilir.

Dijital sinyaller

Bir ölçüm dijitalleştirildiğinde, ölçümü temsil etmek için kullanılan bit sayısı, olası maksimum sinyal / gürültü oranını belirler. Bunun nedeni, mümkün olan en düşük gürültü seviyesinin, bazen nicemleme gürültüsü olarak adlandırılan sinyalin nicelleştirilmesinden (kuantalama) kaynaklanan hata olmasıdır . Bu gürültü seviyesi doğrusal değildir ve sinyale bağlıdır; farklı sinyal modelleri için farklı hesaplamalar mevcuttur. Nicemleme gürültüsü, nicemlemeden önceki sinyalle toplanan bir analog hata sinyali olarak modellenmiştir ("ilave gürültü").

Bu teorik maksimum SNR mükemmel bir giriş sinyali olduğunu varsayar. Giriş sinyali zaten gürültülü ise (genellikle olduğu gibi), sinyalin gürültüsü nicemleme gürültüsünden daha büyük olabilir. Gerçek analogdan dijitale dönüştürücüler ayrıca, kasıtlı renk taklidi de dahil olmak üzere ideal kuantizasyon gürültüsünden teorik maksimuma kıyasla SNR'yi daha da azaltan başka gürültü kaynaklarına da sahiptir.

Bir dijital sistemde gürültü düzeyleri SNR kullanılarak ifade edilebilir, ancak E <sub id="mw9Q">b</sub> / N <sub id="mw9g">o</sub> kullanımı yaygındır

Modülasyon hata oranı (MER), dijital olarak modüle edilmiş bir sinyalde SNR'nin bir ölçüsüdür.

Sabit sayılar

Nicemleme seviyeleri (eşit nicemleme) arasında eşit mesafeye sahip n- bit tam sayıları için dinamik aralık (DR) da belirlenir.

Giriş sinyali değerlerinin tekdüze bir dağılımını varsayarsak, nicemleme gürültüsü, bir nicemleme seviyesinin tepe-tepe genliğine sahip, genlik oranını 2 ⁿ / 1 yapan muntazam bir şekilde dağıtılmış rastgele bir sinyaldir. Formülü:

\mathrm {DR_{dB}} =\mathrm {SNR_{dB}} =20\log _{10}(2^{n})\approx 6.02\cdot n

Bu ilişki " 16-bit ses 96 dB dinamik aralığa sahiptir" gibi ifadelerin kökenidir. Her ekstra niceleme biti, dinamik aralığı kabaca 6 dB artırır.

Tam ölçekli bir sinüs dalgası sinyali (yani niceleyici, giriş sinyaliyle aynı minimum ve maksimum değerlere sahip olacak şekilde tasarlanmıştır) varsayarsak, niceleme gürültüsü testere dişi dalgasına bir nicemleme seviyesinin tepeden tepeye genliğine sahiptir.^[10] ve düzgün dağılım. Bu durumda, SNR yaklaşık:

\mathrm {SNR_{dB}} \approx 20\log _{10}(2^{n}{\sqrt {3/2}})\approx 6.02\cdot n+1.761

Kayan noktalı sayılar

Kayan noktalı sayılar, dinamik aralıktaki bir artış için sinyal gürültü oranını değiştirmenin bir yolunu sunar. n bit kayan noktalı sayılar için; mantissada n-m bit ve üs kısmında m bit

\mathrm {DR_{dB}} =6.02\cdot 2^{m}

\mathrm {SNR_{dB}} =6.02\cdot (n-m)

Dinamik aralığın sabit noktadan çok daha büyük olduğunu, ancak daha kötü bir sinyal gürültü oranına mal olacağını unutmayın. Bu, dinamik aralığın büyük veya öngörülemediği durumlarda kayan noktayı tercih edilebilir hale getirir. Sabit noktanın daha basit uygulamaları, dinamik aralığın 6.02m'den az olduğu sistemlerde sinyal kalitesi dezavantajı olmadan kullanılabilir. Çok geniş dinamik kayan nokta aralığı dezavantaj olabilir, çünkü algoritma tasarımında daha fazla öngörü gerektirir.^[11]

^{[note 2]}^{[note 3]}

Optik SNR

Optik sinyaller, modülasyon frekansından çok daha yüksek bir taşıyıcı frekansa sahiptir (yaklaşık 200 THz ve daha fazlası). Bu şekilde gürültü, sinyalin kendisinden çok daha geniş bir bant genişliğini kapsar. Ortaya çıkan sinyal etkisi esas olarak gürültünün filtrelenmesine dayanır. Alıcıyı dikkate almadan sinyal kalitesini tanımlamak için optik SNR (OSNR) kullanılır. OSNR, belirli bir bant genişliğindeki sinyal gücü ile gürültü gücü arasındaki orandır. En yaygın olarak 0.1 referans bant genişliği nm kullanılır. Bu bant genişliği modülasyon formatından, frekanstan ve alıcıdan bağımsızdır. Örneğin, 20 OSNR dB / 0.1 nm verilebilir, 40 GBit DPSK sinyali bile bu bant genişliğine sığmaz. OSNR bir optik spektrum analizörü ile ölçülür.

Türler ve kısaltmalar

Sinyal-gürültü oranı SNR olarak kısaltılır ve daha az sıklıkla S / N olarak kısaltılabilir. PSNR en yüksek sinyal / gürültü oranını temsil eder . GSNR, geometrik sinyal-gürültü oranını temsil eder. SINR, sinyal / parazit artı gürültü oranıdır .

Ayrıca bakınız

Notlar

^ The exact methods may vary between fields. For example, if the signal data are known to be constant, then $\sigma$ can be calculated using the standard deviation of the signal. If the signal data are not constant, then $\sigma$ can be calculated from data where the signal is zero or relatively constant.
^ Often special filters are used to weight the noise: DIN-A, DIN-B, DIN-C, DIN-D, CCIR-601; for video, special filters such as comb filters may be used.
^ Maximum possible full scale signal can be charged as peak-to-peak or as RMS. Audio uses RMS, Video P-P, which gave +9 dB more SNR for video.

Kaynakça

^ Andy Breeding (2004). The Music Internet Untangled (İngilizce). Giant Path Publishing. ISBN 9781932340020. 16 Şubat 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Ocak 2020.
^ Charles Sherman; John Butler (5 Ocak 2007). Transducers and Arrays for Underwater Sound (İngilizce). Springer Science & Business Media. ISBN 9780387331393.
^ Daniel J. Schroeder (2000). Astronomical Optics (İngilizce). Academic Press. ISBN 978-0-12-629810-9. 23 Şubat 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Ocak 2020. , p.278 3 Şubat 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
^ ^a ^b Bushberg, J. T., et al., The Essential Physics of Medical Imaging, 23 Şubat 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (2e). Philadelphia: Lippincott Williams & Wilkins, 2006, p. 280.
^ Rafael C. Gonzalez; Richard Eugene Woods (2008). Digital Image Processing (İngilizce). Prentice Hall. ISBN 0-13-168728-X. 22 Şubat 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Ocak 2020.
^ Tania Stathaki (28 Ağustos 2008). Image Fusion (İngilizce). Academic Press. ISBN 0-12-372529-1. 23 Şubat 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Ocak 2020.
^ Raol, Jitendra R. (2009). Multi-Sensor Data Fusion with MATLAB. CRC Press. s. 471. ISBN 1-4398-0003-0. 23 Şubat 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Ocak 2020.
^ Russ, John C. (2006). The Image Processing Handbook. CRC Press. s. 26. ISBN 0-8493-7254-2. 22 Şubat 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Ocak 2020.
^ Albert Rose (1973). Vision (İngilizce). Springer. ISBN 9780306307324. 23 Şubat 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Ocak 2020.
^ Defining and Testing Dynamic Parameters in High-Speed ADCs 4 Mart 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. — Maxim Integrated Products Application note 728
^ Fixed-Point vs. Floating-Point DSP for Superior Audio — Rane Corporation technical library

Dış bağlantılar

Taking the Mystery out of the Infamous Formula,"SNR = 6.02N + 1.76dB," and Why You Should Care
ADC ve DAC Sözlüğü 18 Kasım 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - Maxim Entegre Ürünler
Gürültü tabanında kaybolmamak için SINAD, ENOB, SNR, THD, THD + N ve SFDR'yi anlama 25 Şubat 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - Analog Devices
Sayısal ses işlemede dinamik aralığın veri word boyutuyla ilişkisi
Sinyal-gürültü oranı, gürültü voltajı ve gürültü seviyesinin hesaplanması 25 Eylül 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
Simülasyonlarla öğrenme - zaman ortalamasına göre SNR'nin gelişimini gösteren bir simülasyon 3 Şubat 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
Dijital Ses D / A Dönüştürücülerinin Dinamik Performans Testi 4 Haziran 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
Analog devrelerin temel teoremi: SNR seviyesini korumak için minimum güç seviyesi dağıtılmalıdır 27 Ocak 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
Stuttgart Üniversitesi'nin QAM takımyıldız diyagramında TeleComunicatons 16 Nisan 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Enstitüsü'nde SNR'nin görselleştirilmesi için etkileşimli webdemo 16 Nisan 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
Quantization Noise: Roundoff Error in Digital Computation, Signal Processing, Control, and Communications
Niceleme Gürültüsü 23 Ocak 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Genişliği ve Kollár Numune bölümleri ve ek materyalleri içeren Niceleme kitabı sayfası

[5] The exact methods may vary between fields. For example, if the signal data are known to be constant, then $\sigma$ can be calculated using the standard deviation of the signal. If the signal data are not constant, then $\sigma$ can be calculated from data where the signal is zero or relatively constant.

[13] Often special filters are used to weight the noise: DIN-A, DIN-B, DIN-C, DIN-D, CCIR-601; for video, special filters such as comb filters may be used.

[14] Maximum possible full scale signal can be charged as peak-to-peak or as RMS. Audio uses RMS, Video P-P, which gave +9 dB more SNR for video.

[1] Andy Breeding (2004). The Music Internet Untangled (İngilizce). Giant Path Publishing. ISBN 9781932340020. 16 Şubat 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Ocak 2020.

[2] Charles Sherman; John Butler (5 Ocak 2007). Transducers and Arrays for Underwater Sound (İngilizce). Springer Science & Business Media. ISBN 9780387331393.

[3] Daniel J. Schroeder (2000). Astronomical Optics (İngilizce). Academic Press. ISBN 978-0-12-629810-9. 23 Şubat 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Ocak 2020. , p.278 3 Şubat 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

[b1-4] Bushberg, J. T., et al., The Essential Physics of Medical Imaging, 23 Şubat 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (2e). Philadelphia: Lippincott Williams & Wilkins, 2006, p. 280.

[6] Rafael C. Gonzalez; Richard Eugene Woods (2008). Digital Image Processing (İngilizce). Prentice Hall. ISBN 0-13-168728-X. 22 Şubat 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Ocak 2020.

[7] Tania Stathaki (28 Ağustos 2008). Image Fusion (İngilizce). Academic Press. ISBN 0-12-372529-1. 23 Şubat 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Ocak 2020.

[8] Raol, Jitendra R. (2009). Multi-Sensor Data Fusion with MATLAB. CRC Press. s. 471. ISBN 1-4398-0003-0. 23 Şubat 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Ocak 2020.

[9] Russ, John C. (2006). The Image Processing Handbook. CRC Press. s. 26. ISBN 0-8493-7254-2. 22 Şubat 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Ocak 2020.

[10] Albert Rose (1973). Vision (İngilizce). Springer. ISBN 9780306307324. 23 Şubat 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Ocak 2020.

[maxim_728-11] Defining and Testing Dynamic Parameters in High-Speed ADCs 4 Mart 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. — Maxim Integrated Products Application note 728

[rane_fixed_vs_floating-12] Fixed-Point vs. Floating-Point DSP for Superior Audio — Rane Corporation technical library

[1]

[2]

[3]

[4]

[note 1]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[note 2]

[note 3]