Karekök ortalama

Karekök ortalama; matematikte root mean square (kısaltması RMS ya da rms) ayrıca kuadratik ortalama olarak da bilinir. Değişen miktarların büyüklüğünün ölçülmesinde kullanılan istatistik bir ölçüttür. Değişimin artı ve eksi yönde olduğu dalgalarda özellikle çok faydalıdır.

Sürekli olarak değişen bir fonksiyonun sürekli olmayan değer serisi için hesaplanabilir. Karekök ortalama ismi karelerin ortalamasının karekökünün alınmasından gelir.

Tanım

$k_{\text{g}}=\left[{\sqrt {\langle {Ni \over N}\rangle }}-1\right]X100$

$k$

$K_{\text{gort}}=\left[{k_{\text{g1}}+k_{\text{g2}}+k_{\text{g3}}+\ldots +k_{\text{gn}} \over n}\right]$

$N_{\text{g}}=N_{\text{s}}\left[1+{K_{\text{g}} \over 100}\right]^{\langle tg-ts\rangle }$

Karekök ortalama hesaplanması

$n$ sayıdaki değerlerin $\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}$ RMS değeri;

x_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}={\sqrt {{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}} \over n}}

olarak hesaplanır.

$T_{1}\leq t\leq T_{2}$ aralığında sürekli bir f(t) fonksiyonu için karşılık gelen formülü;

f_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}

Bir periyodik fonksiyonun RMS değeri fonsiyonun bir periyodunun RMS değerine eşittir. Sürekli bir fonksiyonun ya da sinyalin RMS değeri eşit aralıklarla bir dizi RMS değeri örneklenerek yaklaşık olarak hesaplanabilir.

Kullanım yerleri

Bir fonksiyonun RMS değeri çoğunlukla fizik ve elektrik mühendisliğinde kullanılır. Örneğin, $R$ direncindeki bir iletken tarafından harcanan $P$ gücünü hesaplamak isteyebiliriz. İletkenden sabit bir $I$ akımı aktığında bu hesabı yapmak kolaydır. Basitçe:

P=I^{2}R\,\!

Ancak akım değişen bir $I(t)$ fonksiyonu ise burada rms değeri devreye girer.

$P_{\mathrm {avg} }\,\!$	$=\langle I^{2}R\rangle \,\!$ ( $\langle \ldots \rangle$ aritmetik ortalamayı ifade eder)
	$=R\langle I^{2}\rangle \,\!$ (R bir sabit olduğuna göre ortalamanın dışına çıkarılabilir)
	$=I_{\mathrm {rms} }^{2}R\,\!$ (RMS in tanımından)

Aynı metot ile;

P_{\mathrm {avg} }={V_{\mathrm {rms} }^{2} \over R}\,\!

P_{\mathrm {avg} }=V_{\mathrm {rms} }I_{\mathrm {rms} }\,\!

Ancak bu tanım gerilimın ve akımın birbiriyle orantılı olduğu (yani yükün resistif olduğu) varsayımı temel alınarak yapılmıştır ve genellenemez.

Şebeke güçlerinde olduğu gibi alternatif akımın genel durumunda, $I(t)$ sinusoidal akım olduğunda rms değeri yukarıdaki sürekli durum denkleminden kolaylıkla hesaplanabilir. $I_{\mathrm {p} }$ yi tepe genliği olarak tanımladığımızda:

I_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{(I_{\mathrm {p} }\sin(\omega t)}\,})^{2}dt}}\,\!

$I_{\mathrm {p} }$ positif bir gerçek sayı olduğuna göre,

I_{\mathrm {rms} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{\sin ^{2}(\omega t)}\,dt}}}

Trigonometrik fonksiyonun karesinin alınmasını elimine etmek için trigonometrik bir varlık kullanıldığında:

I_{\mathrm {rms} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{1-\cos(2\omega t) \over 2}\,dt}}}

I_{\mathrm {rms} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{{t \over 2}-{\sin(2\omega t) \over 4\omega }}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}

Fakat T2 ve T1 zamanlarında sinüs tam bir döngü tamamladığı yani aynı değerlere geldiği için için sinüs değerler birbirini götürür ve geriye aşağıdaki ifade kalır.

I_{\mathrm {rms} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{{T_{2}-T_{1}} \over 2}}}={I_{\mathrm {p} } \over {\sqrt {2}}}

Saf bir sinüs dalgası için; tepe voltajı = RMS voltajı x 1.414( ${\sqrt {2}}$ ) tür. Tepeden tepeye voltajı bunun iki katıdır.

Dönüşüm katsayıları

Tepe genliği $I_{\mathrm {p} }$ tepeden tepeye genliğin $I_{\mathrm {p-p} }$ yarısıdır.
Bir AC dalga formunun zirve faktörü (crest factor); tepe(zirve) değerinin RMS değerine oranıdır.
Bir AC dalga formunun şekil faktörü (form factor); tepe(zirve) değerinin ortalama değerine oranıdır.

Sinüs dalga için;

RMS değeri = 0.707 x Tepe değeri
Ortalama Değeri = 0.637 x Tepe değeri
Tepeden tepeye değeri = 2 x Tepe değeri

Kare dalga için;

RMS değeri = Tepe değeri
Ortalama Değeri = (Tepe değeri x Darbe süresi) / Periyot
Tepeden tepeye değeri = 2 x Tepe değeri

Üçgen dalga için;

RMS değeri = 0.577 x Tepe değeri
Ortalama Değeri = 0.33 x Tepe değeri
Tepeden tepeye değeri = 2 x Tepe değeri

Dış bağlantılar

RMS calculator2 Ocak 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
An explanation of why RMS is a misnomer when applied to power30 Ağustos 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
RMS, Peak and Average for some waveforms12 Ocak 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.