Logaritmik ortalama

Matematikte logaritmik ortalama, iki pozitif gerçek sayının farkının bu sayıların doğal logaritmalarının farkına oranı olarak tanımlanır. Bu hesaplama, ısı ve kütle transferi içeren mühendislik problemlerinde kullanılabilir.

Tanım

Logaritmik ortalama şu şekilde tanımlanır: $x,y$ pozitif gerçek sayılar olmak üzere,

{\begin{aligned}M_{\text{lm}}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\frac {\eta -\xi }{\ln(\eta )-\ln(\xi )}}\\[6pt]&={\begin{cases}x&x=y{\text{ ise}},\\{\frac {y-x}{\ln(y)-\ln(x)}}&x\neq y{\text{ ise.}}\end{cases}}\end{aligned}}

İlgili eşitsizlikler

İki sayının logaritmik ortalaması, bu sayıların aritmetik ortalamasından ve $1/3$ 'üncü dereceden genelleştirilmiş ortalamasından daha büyük olamaz. Aynı zamanda bu ortalama, sayıların geometrik ortalamasından daha küçük de olamaz. İki sayının birbirine eşit olduğu durumda ise bu dört ortalama çeşidi de birbirine eşit olur. Başka bir deyişle, her $x,y$ pozitif gerçek sayıları için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:

{\sqrt {xy}}\leq M_{\text{lm}}(x,y)\leq \left({\frac {x^{1/3}+y^{1/3}}{2}}\right)^{3}\leq {\frac {x+y}{2}}.

^[1]^[2]^[3]

Tanımın elde edilmesi

Ortalama değer teoremi yorumu

Ortalama değer teoremine göre, herhangi bir (x, y) aralığında bir fonksiyonun türevinin kesen doğrunun eğimine eşit olmasını sağlayan bir $\xi$ değeri bulunur:

\exists \xi \in (x,y):\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}.

Logaritmik ortalama, $f$ fonksiyonunun doğal logaritma olduğu durumda $\xi$ 'nin alacağı değer olarak tanımlanabilir:

{\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln(x)-\ln(y)}{x-y}}

eşitliği nedeniyle,

\xi ={\frac {x-y}{\ln(x)-\ln(y)}}.

İntegral yorumu

Logaritmik ortalama, üstel bir eğrinin altında kalan alan olarak da yorumlanabilir:

{\begin{aligned}L(x,y)={}&\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t={}\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}x\ \mathrm {d} t={}x\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\mathrm {d} t\\[3pt]={}&\left.{\frac {x}{\ln \left({\frac {y}{x}}\right)}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\right|_{t=0}^{1}={}{\frac {x}{\ln \left({\frac {y}{x}}\right)}}\left({\frac {y}{x}}-1\right)={}{\frac {y-x}{\ln \left({\frac {y}{x}}\right)}}\\[3pt]={}&{\frac {y-x}{\ln \left(y\right)-\ln \left(x\right)}}.\end{aligned}}

Bu yorum, logaritmik ortalamanın bazı temel özelliklerinin kolayca elde edilmesini sağlar. Örneğin, üstel fonksiyon monoton bir fonksiyon olduğu için 1 uzunluğundaki bir aralıktaki integral, $x$ ve $y$ tarafından sınırlanır. Bu nedenle bu durum logaritmik ortalama için de geçerli olur. Ayrıca, integral işleminin homojenliği ortalama işlemine aktarılır. Buradan hareketle $L(cx,cy)=cL(x,y)$ eşitliğinin geçerli olduğu kolayca görülebilir.

Logaritmik ortalamanın diğer iki faydalı integral gösterimi, ${1 \over L(x,y)}=\int _{0}^{1}{\operatorname {d} \!t \over tx+(1-t)y}$ ve ${1 \over L(x,y)}=\int _{0}^{\infty }{\operatorname {d} \!t \over (t+x)\,(t+y)}$ şeklindedir.

Tanımın genelleştirilmesi

Ortalama değer teoremi yorumu

Logaritmik ortalama, bölünmüş farklar için ortalama değer teoremi göz önüne alınarak doğal logaritma fonksiyonunun $n$ . türevi için $n+1$ değişkenli duruma genelleştirilebilir: $\ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)$ ifadesi doğal logaritmanın bölünmüş bir farkını göstermek üzere,

L_{\text{MV}}(x_{0},\,\dots ,\,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{(n+1)}n\ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}}.

Bu genelleştirme, $n=2$ durumunda aşağıdaki tanımı ortaya çıkarır:

L_{\text{MV}}(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{2\left(\left(y-z\right)\ln \left(x\right)+\left(z-x\right)\ln \left(y\right)+\left(x-y\right)\ln \left(z\right)\right)}}}.

İntegral yorumu

Logaritmik ortalamanın integral yorumu da daha fazla değişkene genelleştirilebilir, ancak bu durum farklı bir sonuca yol açar. ${\textstyle S=\{\left(\alpha _{0},\,\dots ,\,\alpha _{n}\right):\left(\alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1\right)\land \left(\alpha _{0}\geq 0\right)\land \dots \land \left(\alpha _{n}\geq 0\right)\}}$ biçiminde tanımlanan bir simpleks ve bu simpleksin hacminin 1 birim olmasını sağlayan bir ${\textstyle \mathrm {d} \alpha }$ ölçüsü verildiğinde aşağıdaki tanımı elde ederiz:

L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \,\cdots \,\cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha .

Bu tanım, üstel fonksiyonun bölünmüş farkları kullanılarak aşağıdaki gibi basitleştirilebilir:

L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=n!\exp \left[\ln \left(x_{0}\right),\,\dots ,\,\ln \left(x_{n}\right)\right].

Diğer ortalamalarla ilişkisi

Sıkça karşılaşılan bazı ortalama çeşitleri, logaritmik ortalama cinsinden ifade edilebilir.

Aritmetik ortalama: ${\frac {L\left(x^{2},y^{2}\right)}{L(x,y)}}={\frac {x+y}{2}}.$
Geometrik ortalama: ${\sqrt {\frac {L\left(x,y\right)}{L\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}}}={\sqrt {xy}}.$
Harmonik ortalama: ${\frac {L\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}{L\left({\frac {1}{x^{2}}},{\frac {1}{y^{2}}}\right)}}={\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}.$

Ayrıca bakınız

Kaynaklar

^ B. C. Carlson (1966). "Some inequalities for hypergeometric functions". Proc. Amer. Math. Soc. 17: 32-39. doi:10.1090/s0002-9939-1966-0188497-6.
^ B. Ostle (1957). "A comparison of two means". Proc. Montana Acad. Sci. 17: 69-70.
^ Tung-Po Lin. "The Power Mean and the Logarithmic Mean". The American Mathematical Monthly. doi:10.1080/00029890.1974.11993684.

Konuyla ilgili yayınlar

Stolarsky, Kenneth (1975). "Generalizations of the logarithmic mean". Mathematics Magazine. 48 (2): 87-92. doi:10.2307/2689825.

Dış bağlantılar

[1] B. C. Carlson (1966). "Some inequalities for hypergeometric functions". Proc. Amer. Math. Soc. 17: 32-39. doi:10.1090/s0002-9939-1966-0188497-6.

[2] B. Ostle (1957). "A comparison of two means". Proc. Montana Acad. Sci. 17: 69-70.

[3] Tung-Po Lin. "The Power Mean and the Logarithmic Mean". The American Mathematical Monthly. doi:10.1080/00029890.1974.11993684.

[1]

[2]

[3]