Genelleştirilmiş ortalama

Bir genelleştirilmiş ortalama; Pisagorik ortalamalarını, yani aritmetik ortalama, geometrik ortalama ve harmonik ortalamayı, aynı tanım formülünde birleştirip kapsayan bir soyut genelleştirmedir. Güç ortalaması veya Holder ortalaması adları da verilmektedir.

Tanım

Eğer $p$ sıfır olmayan bir pozitif reel sayı ise, $p$ üslü genelleştirilmiş ortalama

$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}.$

ifadesine uyan $x_{1},\dots ,x_{n}$ pozitif reel sayılardır.

Özellikler

$t$ = 1 hali aritmetik ortalama, $t$ = - 1 harmonik ortalamasını ve t = 2 ise ortalama kare kökünü ortaya çıkartır. t limitte 0a yaklaşırsa, M(t') için verilen sayılar için limit o sayıların geometrik ortalamasını verir ve bu nedenle M(0) terimini geometrik ortalama olarak tanımlamak uygun olur. Bunun yanında t ∞ değerine limitte yaklaşmakta ise, M(t) verilen sayıların minimum değerine yaklaşım gösterir.

• Birçok değişik ortalamalar gibi, genelleştirilmiş ortalama, $x_{1},\dots ,x_{n}$ argümanlarının bir homojen fonksiyonudur. Yani $b$ pozitif bir reel sayı ise, $b\cdot x_{1},\dots ,b\cdot x_{n}$ reel sayılarının $p$ üslü genelleştirilmiş ortalaması $b$ teriminin $x_{1},\dots ,x_{n}$ sayılarının genelleştirilmiş ortalamasına eşittir.
• Yarı-aritmetik ortalamalar için uygulandığı gibi, ortalamanın hesaplanması birbirine eşit büyüklükte alt-blokların hesaplanması ile elde edilebilir.

$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}(M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k}))$

Genelleştirilmiş ortalama eşitsizliği

Genellikle, eğer $p<q$ olursa, o halde $M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})$ olur ve iki ortalama ancak ve ancak $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$ ise birbirine eşittir. Bundan şu sonuç ortaya çıkartılır:

$\forall p\in \mathbb {R} \ {\frac {\partial M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial p}}\geq 0,$

ve bu Jensen'in eşitsizliğini kullanılarak ispat edilebilir.

Özellikle, $p\in \{-1,0,1\}$ ise genelleştirilmiş ortalama eşitsizliği hem Pisagorik ortalamaların eşitsizliğini hem de aritmetik ve geometrik ortalamaların eşitsizliğini içermektedir.

Özel haller

n=2 için bazı uygulamalı hallerin vizüyel gösterimi'.

• $\lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ - minimum,
• $M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}$ - harmonik ortalama,
• $\lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}$ - geometrik ortalama,
• $M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}$ - aritmetik ortalama,
• $M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}$ - kuadratik ortalama,
• $\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ - maksimum.

Kuvvet ortalamaları eşitsizliğinin ispatı

Karşıt işaretli ortalamalar arasındaki eşitsizlerin birbirine tıpatıp benzemesi

p ve q endeksli güç ortalamaları arasında bir ortalama bulunsun:

${\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}$

O halde:

${\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}}}$

(Bu pozitif reel sayılı kesinlikle azalan bir fonksiyon olduğu için) iki tarafın da -1 üssü alınabilir:

${\sqrt[{-p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}}}={\sqrt[{p}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}}\geq {\sqrt[{q}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}}={\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}$

Böylece -p ve -q üsleri olan ortalamalar için bir eşitsizlik elde etmiş oluruz. Aynı mantığı tersten de kullana bilip eşitsizliklerin birbirine aynı olduğu ispat edilebilir. (Bu sonuç ileri de kullanılacaktır.)

Geometrik ortalama

Herhangi bir q değeri için, q üslü bir ortalama ile geometrik ortalama arasındaki eşitsizliğin şu yolla dönüşümü yapılabilir:

$\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}$

${\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}$

(Birinci eşitsizlik bir pozitif q için ispat edilmiş olması gerekir.)

Her iki tarafından q üssü alınırsa

$\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}\cdot q}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}$

olur. Her iki halde de $x_{i}^{q}$ silsilesi için ağırlıklı aritmetik ve geometrik ortalamalar arasındaki eşitsizlik ele geçirilir. Bu Jensen'in eşitsizliği ve logaritmik fonksiyonun konkav olduğu gerçeklerinden faydalanarak ispat edilebilir.

$\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})\leq \log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\right)$

$\log(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}})\leq \log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\right)$

(Kesinlikle azalan) exp fonksiyonu her iki tarafa tatbik edilirse, şu eşitsizlik ortaya çıkar:

$\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}$

Böylece, herhangi bir pozitif q değeri için şu ifade önerilir:

${\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}$

Bu eşitsizlik herhangi bir q ne kadar küçük olursa olsun hep gerçek olacağı için, q limitte 0a yaklaştıkça, bu eşitsizliğin sol ve sağ tarafları geometrik ortalamaya yaklaşıklık gösterir. q 0a yaklaşım gösterdikçe, güç ortalaması limitte geometrik ortalamaya yaklaşır:

$\lim _{q\rightarrow 0}{\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}$

Herhangi bir güç ortalamaları çifti arasındaki eşitsizlik

Burada herhangi bir p<q için şu eşitsizliğin geçerli olduğu ispat edilecektir:

${\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}$

• Eğer p negatif ise ve q pozitif ise, eşitsizlik yukarıda ispatı verilenin aynıdır:

${\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}$

• Hem p pozitif hem de q pozitif ise ispat şöyle yapılır:

Önce şu fonksiyon tanımlanır:

$f:{\mathbb {R} _{+}}\rightarrow {\mathbb {R} _{+}},$ $f(x)=x^{\frac {q}{p}}$.

Burada f bir güç fonksiyonudur; bu nedenle ikinci türevi bulunup şöyle ifade edilir:

$f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2},$

Bu f sahası içinde kesinlikle pozitif olur; çünkü q > p olduğu için f konvekstir.

Bu sonucu ve Jensen'in eşitsizliğini kullanarak, şu ifadeler elde edilir:

$f\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})$

${\sqrt[{\frac {p}{q}}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}$

Bunun her iki tarafının 1/q üssü alınırsa (1/q)'nin pozitif olması nedeniyle bunun bir artan fonskiyon görülür ve elde edilen eşitsizlik şu olur:

${\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}$

Bu eşitsizlik ise ispat gereken sonucudur.

• Hem p negatif ve hem q negatif ise, daha önce gösterilenlere aynı olan ifadeler geçerlidir ve bunlara -p ve -q konulursa, ispatı istenilen eşitsizlik yine elde edilir.

Minimum ve maksimum

Minimum ve maksimum değerlerin üssel endeksleri

$-\infty$ ve $+\infty$.

olan güç ortalamaları olduğu kabul edilsin. Böylece herhangi bir q değeri için

$\min(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}\leq \max(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

Maksimum için ispat şöyle yapılır: Genelliği kaybetmeden x_i dizisinin artan olmadığını ve ağırlığının sıfır olduğu kabul edilsin. Bu halde eşitsizlik şu ifadeyle aynıdır:

${\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}\leq x_{1}$

Bu ifadenin iki tarafının da q üssü alınırsa, (qnun işaretine bağlı olarak) şu iki ifadeden birisi elde edilir:

$\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\leq {\color {red}\geq }x_{1}^{q}$

≤ eğer q>0, ≥ eğer q<0.

Her iki taraftan $w_{1}x_{1}$ çıkartılırsa, elde edilen ifade

$\sum _{i=2}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\leq {\color {red}\geq }(1-w_{1})x_{1}^{q}$

olur. Bu $(1-w_{1})$ ile bölünürse, ortaya çıkan ifade şudur:

$\sum _{i=2}^{n}{\frac {w_{i}}{(1-w_{1})}}x_{i}^{q}\leq {\color {red}\geq }x_{1}^{q}$

1 - w₁ sıfır değildir, böylece

$\sum _{i=2}^{n}{\frac {w_{i}}{(1-w_{1})}}=1$

İki taraftan x₁^q çıkartırsak ortaya çıkan ifade

$\sum _{i=2}^{n}{\frac {w_{i}}{(1-w_{1})}}(x_{i}^{q}-x_{1}^{q})\leq {\color {red}\geq }0$

olur. Bu epeyce açıkça anlaşılır; çünkü x₁ herhangi bir x_i değerine eşit veya o değerden daha fazladır ve böylece

$x_{i}^{q}-x_{1}^{q}\leq {\color {red}\geq }0$

Minimum için de ispat nerede ise aynı şekilde yapılır; ancak x₁, w₁ yerine x_n, w_n kullanılır.

Genelleştirilmiş $f$-ortalaması

Genelleştirilmiş ortalama (veya güç ortalaması) daha da genelleştirilip genelleştirilmiş f-ortalaması formülü ortaya çıkarılmıştır. Bu formül şöyledir:

$M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)$

Bu formüle göre güç ortalaması $f\left(x\right)=x^{p}$ olarak elde edilir.

Uygulamalar

Sinyal üretilmesi

Bir güç ortalaması bir doğrusal olmayan hareketli ortalama hizmeti görür. Bu küçük $p$ için düşük sinyal değerlerine doğru kaydırma yapar ve büyük $p$ için yüksek sinyal değerlerine önem sağlar. Hareketli aritmetik ortalamanın etkin uygulaması (yani smooth uygulaması) gerçekse verilen şu Haskell koduna göre

 powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
 powerSmooth smooth p =
    map (** recip p) . smooth . map (**p)

• Bu büyük değerde $p$ için rektifiye edilmiş sinyal üzerinde bir zarf detektörü olarak hizmet görebilir.
• Bu küçük değerde $p$ için kütle spektrumu üzerinde anahat detektörü olarak hizmet görebilir.

Ayrıca bakınız

• Aritmetik ortalama
• Geometrik ortalama
• Harmonik ortalama
• Heronian ortalama
• Pisagorik ortalama
• Ortalama
• Ortalama kare kökü

Dış bağlantılar

• MathWorld'de güç ortalaması 20 Ekim 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Genelleştirilmiş ortalama için örnekler 8 Temmuz 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• [1]
• Rasyonel ortalama