Cauchy integral teoremi
Analiz → Karmaşık analiz |
Karmaşık analiz |
---|
Karmaşık sayılar |
Karmaşık fonksiyonlar |
Temel teori |
Geometrik fonksiyon teorisi |
Önemli kişiler |
Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde Cauchy integral teoremi, karmaşık düzlemdeki holomorf fonksiyonların çizgi integralleri hakkında önemli bir teoremdir. Teorem, Augustin Louis Cauchy'nin adını taşımaktadır.
Teoremin ifadesi
[değiştir | kaynağı değiştir]- Cauchy integral teoremi: U, C 'nin basit bağlantılı açık bir altkümesi olsun. f : U → C holomorf bir fonksiyon olsun ve γ, U içinde başlangıç noktası bitiş noktasıyla aynı olan doğrultulabilir bir yol olsun. O zaman : eşitliği vardır.
Édouard Goursat tarafından gösterildiği gibi, Cauch integral teoremi, U içinde her yerde f 'nin karmaşık türevi olan f '(z) varsa, kanıtlanabilir. Bu önemlidir çünkü bu fonksiyonlar için o zaman Cauchy integral formülü de kanıtlanabilir ve bundan aslında bu fonksiyonların sonsuz kere türevlenebilmesi özelliği çıkar.
U 'nun basit bağlantılı olması koşulu kabaca U 'da "delik" olmaması anlamına gelir veya homotopi kavramlarıyla anlatılacak olursa, U 'nun temel grubunun bariz olması demektir. Örneğin, açık diski bunlardan biridir. Bu şart teoremde çok önemlidir. Birim çemberi dolaşan
düşünüldüğünde,
yol integrali sıfır olmayacaktır. Cauchy integral teoremi, f(z) = 1/z fonksiyonu z = 0 noktasında tanımlı olmadığı (ve elbette holomorf olmadığı) için artık burada geçerli değildir.
Teoremin önemli sonuçlarından birisi basit bağlantılı bölgelerdeki holomorf fonksiyonların yol integrallerinin hesabın temel teoremindekine benzer bir şekilde hesaplanabilmesidir: U, C 'nin basit bağlantılı açık bir kümesi olsun. f : U → C holomorf bir fonksiyon olsun ve γ, başlangıç noktası a, bitiş noktası b olan bir parçalı sürekli türevlenebilir yol olsun. F, f 'nin karmaşık antitürevi ise, o zaman
eşitliği vardır.
Cauchy integral teoremi üstte verilen halinden biraz daha güçlü halde de geçerlidir. U 'nun sınırı doğrultulabilir bir yolun (mesela γ) görüntüsü olsun ve ayrıca U basit bağlantılı açık bir C altkümesi olsun. f, U üzerinde holomorf olan bir fonksiyonsa ve U 'nun kapanışında sürekliyse, o zaman
eşitliği vardır.
Cauchy integral teoremi ayrıca Cauchy integral formülü 'nün ve rezidü (kalıntı) teoreminin kanıtlanmasını da sağlar.
Kanıt
[değiştir | kaynağı değiştir]Cauchy integral teoremi, Green teoremi ile kanıtlanabilir. Kanıt için Cauchy-Riemann denklemlerini kullanmamız yetecektir. kontürü saat yönünün tersi şeklinde bir döngü halinde olsun ve U kümesi basit bağlantılı ve kümesinin alt kümesi olsun. fonksiyonu U gibi bir basit bağlantılı bölgenin tümünde holomorf olsun. ise, kompleks diferansiyeli olur. Fonksiyonu da gerçel ve sanal kısımlarının toplamı şeklinde yazalım: .
Bu durumda
olacaktır.
Green teoremi kullanarak
yazılabilir.
Cauchy-Riemann denklemleriyle teorem kanıtlanacaktır.
Sonuç olarak,
Ayrıca bakınız
[değiştir | kaynağı değiştir]- Cauchy-Riemann denklemleri
- Cauchy integral formülü
- Morera teoremi
- Kontür integrali metotları
- Kalıntı (karmaşık analiz)
Dış bağlantılar
[değiştir | kaynağı değiştir]- http://mathworld.wolfram.com/CauchyIntegralTheorem.html 12 Temmuz 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. MathWorld'deki ilgili sayfa.
- Cauchy-Goursat Teoremi Modülü, John H. Mathews tarafından 15 Temmuz 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.