Holomorfluk bölgesi

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, holomorfluk bölgesi, üzerinde tanımlı olan holomorf fonksiyolardan en az bir tanesinin daha büyük bir bölgeye holomorf özelliğini koruyarak devam ettirelemediği bölgelere verilen addır. Karmaşık düzlemdeki açık kümelerin hepsi holomorfluk bölgesidir. Ancak, karmaşık düzlemde geçerli olan bu sonucun dengi bir sonuç yüksek boyutlu uzayda herhangi bir bölge için geçerli değildir. Bu yüzden, holomorfluk bölgelerin belirleyici özelliklerini bulmak yirminci yüzyılın ilk yarısında çok değişkenli karmaşık analizde en yoğun çalışılmış konulardan birisi olmuştur. Bu farklılığı ilk defa Fritz Hartogs göz önüne sermiştir ve sonuç en genel haliyle Hartogs devam (genişleme) teoremi olarak bilinmektedir.

Tanım

Tanımdaki kümeler

$\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$ açık bir küme olsun. Aşağıdaki koşulları sağlayan $\Omega _{1}$ ve $\Omega _{2}$ gibi açık kümeler yoksa, $\Omega$'ya holomorfluk bölgesi denir.

1. $\emptyset \neq \Omega _{1}\subset \Omega _{2}\cap \Omega$.
2. $\Omega _{2}$ bağlantılı ve $\Omega _{2}\not \subset \Omega$.
3. $\Omega$ üzerinde tanımlı her holomorf $f$ fonksiyonu için, tanım kümesi $\Omega _{2}$ olan ve $\Omega _{1}$ üzerinde $f=g$ sağlayan holomorf bir $g$ vardır.

Denk tanımlar

Holomorfluk bölgesinin tanımına denk olan başka matematiksel ifadeler de vardır. Bu amaçla, $\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$ bir bölge olsun. O zaman aşağıdaki ifadeler birbirine denktir.

1. $\Omega$ holomorfluk bölgesidir.
2. $\Omega$ holomorf-dışbükey bölgedir. Yani, $\Omega$'nın tıkız altkümelerinin $\Omega$ içindeki holomorf dışbükey kaplamı $\Omega$ içinde yine tıkızdır. $\Omega$ üzerinde tanımlı holomorf fonksiyonların kümesi ${\mathcal {O}}(\Omega )$ ile gösterilirse, tıkız bir $K\subset \Omega$ için holomorf dışbükey kaplam şu şekilde tanımlanır:$$\displaystyle {\hat {K}}_{\Omega }:=\left\{z\in \Omega ;|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|\quad \forall f\in {\mathcal {O}}(\Omega )\right\}.$$
3. $\Omega$ sözde dışbükey bölgedir.
4. $\Omega$ üzerinde Süreklilik İlkesi vardır. Yani, $\triangle _{\alpha }$ kümeleri $\Omega$ içinde yer alan kapalı analitik disklerse ve $\cup _{\alpha }\partial \triangle _{\alpha }\subset \Omega$ ise, o zaman $\cup _{\alpha }\triangle _{\alpha }\subset \Omega$ olur.
5. $\Omega$ yerel Levi özelliğine sahiptir: $\Omega$'nın sınırındaki her nokta için bir komşuluk vardır öyle ki bu komşuluğun $\Omega$ ile kesişiminde holomorf olan hiçbir fonksiyon komşuluğun tümüne holomorf olarak devam ettirilemez.

$1\Rightarrow 3$ Oka önsavı yardımıyla çözülür. $5\Rightarrow 1$ ise Levi problemi olarak bilinir. İlk defa Kiyoshi Oka tarafından çözülmüştür.

Özellikler

• $\Omega _{1},\dots ,\Omega _{n}$ holomorfluk bölgesi ise, o zaman kesişimleri $\Omega =\bigcap _{j=1}^{n}\Omega _{j}$ de holomorfluk bölgesi olur.
• $\Omega _{1}\subseteq \Omega _{2}\subseteq \dots$ bir öncekini kapsayarak artan bir holomorfluk bölge dizisi ise, o zaman bu bölgelerin birleşimleri $\Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }\Omega _{n}$ de holomorfluk bölgesidir. Bu özellik Behnke-Stein teoremi olarak da bilinir.
• $\Omega _{1}$ ve $\Omega _{2}$ holomorfluk bölgesi ise, o zaman $\Omega _{1}\times \Omega _{2}$ de holomorfluk bölgesidir.
• Birinci Cousin problemi bir holomorfluk bölgesinde her zaman çözülebilir. İkinci Cousin problemi ise ilave topolojik varsayımlar eklenerek çözülebilir.

Karmaşık düzlemde sonuçlar

Karmaşık düzlemdeki açık kümelerin hepsi holomorfluk bölgesidir. Karmaşık düzleme eşit olmayan açık kümenin holomorfluk bölgesi olduğunu göstermek için genelde iki ayrı yöntem takip edilir. Ya fonksiyonun sıfır değeri aldığı noktaların kümeye eşit olmadığı ve kümenin sınırındaki her noktaya yığılması istenir ya da fonksiyonun sınırdaki noktalara doğru limitinin sonsuz olması istenir. Mesela, açık kümenin sınırının her noktasına yığılma gösteren ama herhangi bir şekilde içerideki bir noktaya yığılmayan karmaşık sayı dizisi inşa edilebilir. O zaman, Weierstrass çarpım teoreminin bir genellemesi yardımıyla, bu bölge üzerinde holomorf olan ve bu dizinin yığılma noktalarında sıfır değerleri olan bir fonksiyon vardır. Bu fonksiyonun çarpmaya göre tersi, açık kümenin üzerinde tanımlı ve holomorftur. Bu sayede, bu kümenin dışına holomorf olarak devam ettirilemez.

Örnekler

• Hadamard boşluk teoremi sayesinde, kuvvetleri belli tamsayıları atlayan (boşluklu) seriler birim diskin dışına holomorf bir şekilde genişletilemez. Mesela,

• $a\geq 2$ tamsayı olmak üzere $\sum _{n=0}^{\infty }z^{a^{n}}$ serisi birim diskin dışına holomorf olarak devam ettirilemez.
• Başka bir örnek ise $\sum _{n=0}^{\infty }z^{n!}$ serisidir.
• Aynı türden başka bir örnek ise $\sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}$ serisidir.

• $\prod _{\nu =0}^{\infty }(1-z^{2^{\nu }})$ de birim diskin dışına holomorf bır şekilde devam ettirilemeyen holomorf bir fonksiyondur.

Ayrıca bakınız

• Behnke-Stein teoremi
• Sözde dışbükeylik
• Stein manifoldu

Kaynaklar

• Greene, R. E; Krantz, S. G. (2006). Function theory of one complex variable. Providence, RI: American Mathematical Society. 
• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
• Boris Vladimirovich Shabat, Introduction to Complex Analysis, AMS, 1992