Bolzano-Weierstrass teoremi

Bolzano-Weierstrass teoremi klasik matematik analizin temel teoremlerinden biridir. İlk kez "Fonksiyonlar" adlı kitabında Bernhard Bolzano tarafından kullanıldı. Sonraki yıllarda bu teoremin ispatı tam olarak Karl Weierstrass tarafından verilmiştir. Bu nedenle, bu teorem analizde Bolzano-Weierstrass teoremi olarak bilinir.

$\mathbb {R}$, reel sayılar kümesinin, sınırlı ve sonsuz elemana sahip her alt kümesinin en az bir yığılma noktası vardır. Bir diğer deyişle R de her sınırlı dizinin yakınsak bir alt dizisi vardır. Bu teoremin ispatından önce 2 lemma ispatlanırsa daha anlaşılabilir aşağıdaki ispata göre. 1. Lemma:Bütün sınırlı monoton diziler yakınsar. 2. Lemma:Bütün dizilerin monoton bir altdizisi vardır. Bu iki lemma ispatlandıktan sonra elimize bir sınırlı dizi aldığımızda 2. Lemma ya göre monoton bir alt dizisi elde edilir sonra 1. lemma kullanılarak bu monoton altdizinin yakınsadığı sonucuna ulaşılarak teorem ispatlanır.

ispat:

reel sayılarda sınırlı ve sonsuz elemanlı bir küme A olsun. Reel sayılar tamlık aksiyomunu sağladığından A kümesinin supremum ve infimum'u vardır. infA=x, supA=y olsun. Bu durumda her aЄA için x≤a≤y elde edilir. [x, y] aralığını iki kapalı aralığa bölelim. Bu aralıklardan en az bir tanesi sonsuz eleman kapsar. Böylece devam edilerek tümevarımla artan(x_n) ve azalan (y_n), x_n<y_n dizilerini oluştururuz. [x_n,y_n] aralığının uzunluğu y_n-x_n=y-x/2ⁿ ve A∩[x_n,y_n] kümesinin sonsuz çoklukta elemanı vardır. (x_n) artan sınırlı, (y_n) azalan sınırlı dizi olduklarından yakınsar. lim_nx_n=sup_nx_n=p ve lim_ny_n=inf_ny_n=q olsun. y_n-x_n=y-x/2ⁿ olduğundan sup_nx_n=inf_ny_n=p olur. ε>0 verilsin. y-x<y-x/2ⁿ olacak biçimde nЄN seçelim. bu durumda y_n-p≤y_n-x_n<ε ve p-x_n≤y_n-x_n<ε elde edilir. (p-ε,p+ε)aralığı A∩[x_n,y_n] kümesinin sonsuz çoklukta elemanını kapsadığından p noktası A kümesinin bir yığılma noktasıdır.