Üstel tip

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, holomorf bir fonksiyonun $|z|\to \infty$ iken büyümesi, $C$ gerçel bir sayı olmak üzere, $e^{C|z|}$ üstel fonksiyonu ile sınırlanıyorsa, o zaman bu holomorf fonksiyonun üstel tipi $C$'dir denir.

Holomorf bir fonksiyon bu şekilde bir üstel fonksiyon tarafından kontrol altında tutulduğunda, bu fonksiyonu terimleri başka karmaşık fonksiyonlardan oluşan yakınsak seriler halinde yazabilmek mümkün olmaktadır. Ayrıca, Borel toplamı gibi tekniklerin ne zaman uygulanabileceğini anlamak veya örneğin Mellin dönüşümünü uygulamak, veya Euler-Maclaurin formülü kullanılarak yaklaşıklıklar yapmak mümkün olur. En genel durum, Nachbin teoremi tarafından verilmektedir ki bu teoremde, genel bir $\Psi (z)$ fonksiyonuna karşılık $\Psi$ tipi tanımlanır.

Tanıma yönelik temel fikir

Karmaşık düzlemde $z$ değişkenini $z=re^{i\theta }$ ile temsil edelim ve yine aynı düzlemnde tanımlı bir $f(z)$ fonksiyonunu ele alalım. Eğer $r\to \infty$ iken,

$\left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|\leq Me^{\tau r}$

eşitsizliğini sağlayan gerçel bir $M$ and $\tau$ değerleri varsa, o zaman $f(z)$ fonksiyonuna üstel tipli fonksiyon denir. Burada, dikkat edilmesi gereken, bu eşitsizliğin bütün $\theta$ değerleri için geçerli olmasıdır; diğer deyişle, fonksiyonun hangi yöne doğru büyümesinin alınması fark etmezsizin, bu büyümenin bir üstel fonksiyon tarafından sınırlandırılması yani kontrol altında tutulması esas fikirdir. Bu tür bir büyümenin sağlandığı en küçük $\tau$ değerine ya da daha doğru deyişle bu tür $\tau$ değerlerinin infimumuna, fonksiyonun üstel tipi denir.

Örneğin, $f(z)=\sin(\pi z)$ fonksiyonunu göz önüne alalım. Her $z\in \mathbb {C}$ için $\sin {z}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$ olduğu için,

$|f(z)|=|\sin(\pi z)|={\Bigg |}{\frac {e^{i\pi z}-e^{-i\pi z}}{2i}}{\Bigg |}\leq {\frac {1}{2}}|e^{i\pi z}-e^{-i\pi z}|\leq e^{\pi |z|}$

elde edilir. Aynı zamanda, $y>0$ için $z=-iy$ alınırsa, o zaman fonksiyonun üstel tipinin $\pi$ olduğu gerçekten görülecektir. Böylece, bu örnek için, Carlson teoremi uygulanamaz; çünkü, bu teoremde, fonksiyonların üstel tipinin $\pi$'den kesinlikle az olması varsayılır.

Tanım

Holomorf bir $F(z)$ fonksiyonu verilmiş olsun. Bir $\sigma >0$ ve her $\varepsilon >0$ için

$|F(z)|\leq A_{\varepsilon }e^{(\sigma +\varepsilon )|z|}$

eşitsizliğini $|z|\to \infty$ iken sağlayan sabit bir $A_{\varepsilon }$ varsa, o zaman $F(z)$ üstel tipi $\sigma >0$ olan bir fonksiyondur. Bu durumda,

$\tau (F)=\sigma =\displaystyle \limsup _{|z|\rightarrow \infty }|z|^{-1}\log |F(z)|$

$F(z)$ fonksiyonunun üstel tipidir. Buradaki limsup, verilen bir yarıçaptan büyük yarıçap değerleri için alınan bölümlerin supremumunun yarıçap sonsuza giderken limitidir. Belli bir yarıçap değeri için alınan maksimum bölüm değerlerinin yarıçap sonsuza giderken limit supremum değeri yine buradaki limsup değeridir. Belli bir yarıçap değeri için hesaplanan maksimumların yarıçap sonsuza giderken limiti olmasa bile, daha önce bahsedilen limsup değeri var olabilir. Örneğin,

$F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{10^{n!}}}{(10^{n!})!}}$

serisini ele alalım ve

$(\max _{|z|=r}\log |F(z)|)/r$

değerine $r=10^{n!-1}$ iken bakalım. Bu durumda, $(n-1)^{\text{inci}}$ terim $\max _{|z|=10^{n!-1}}\log |F(z)|/{10^{n!-1}}$ terimine baskındır. O hâlde,

${\begin{aligned}\left(\max _{|z|=10^{n!-1}}\log |F(z)|\right)/10^{n!-1}&\sim \left(\log {\frac {(10^{n!-1})^{10^{(n-1)!}}}{(10^{(n-1)!})!}}\right)/10^{n!-1}\\&\sim (\log 10)\left[(n!-1)10^{(n-1)!}-10^{(n-1)!}(n-1)!\right]/10^{n!-1}\\&\sim (\log 10)(n!-1-(n-1)!)/10^{n!-1-(n-1)!}\\\end{aligned}}$

asimptotik bağlantıları vardır ki bu durumda sağ taraf $n$ sonsuza giderken 0'a gider. Ancak, $F(z)$ fonksiyonuna sadece $z=10^{n!}$ noktalarında bakmakla fonksiyonun üstel tipinin 1 olduğu görülebilir.

Simetrik ve dışbükey bir cisme göre üstel tip

Üstel tipin çok değişkenli karmaşık fonksiyonlar için bir genelleştirmesi Elias Stein tarafından verilmiştir. Diyelim ki $K$ kümesi $\mathbb {R} ^{n}$nin dışbükey, tıkız ve simetrik olan bir altkümesi olsun. Böyle her $K$ için

$K=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{K}\leq 1\}$

küme eşitliği sağlayan bir $\|\cdot \|_{K}$ normu vardır. Diğer deyişle, $K$ kümesi, $\mathbb {R} ^{n}$deki bir $\|\cdot \|_{K}$ normuna göre birim yuvardır.

$K^{*}=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:x\cdot y\leq 1{\text{ her }}x\in {K}\}$

kümesi ise $K$ kümesinin polar kümesidir. $K^{*}$ kümesi de yine $\mathbb {R} ^{n}$nin dışbükey, tıkız ve simetrik altkümesidir. Dahası,

$\|x\|_{K}=\displaystyle \sup _{y\in K^{*}}|x\cdot y|$

yazılabilir. Öyleyse, $\|\cdot \|_{K}$ normu $\mathbb {R} ^{n}$den $\mathbb {C} ^{n}$ye şu şekilde genişletilebilir:

$\|z\|_{K}=\displaystyle \sup _{y\in K^{*}}|z\cdot y|.$

Sonuç olarak, $n$ tane karmaşık değişkeni olan bir $F(z)$ fonksiyonunu ele alalım. Her $\varepsilon >0$ için

$|F(z)|<A_{\varepsilon }e^{2\pi (1+\varepsilon )\|z\|_{K}}$

eşitsizliğini bütün $z\in \mathbb {C} ^{n}$ için sağlayacak bir $A_{\varepsilon }$ sayısı varsa, o zaman, $F(z)$ fonksiyonuna $K$ kümesine göre üstel tipli denir.

Fréchet uzayı

Üstel tip $\tau$ olan fonksiyonların uzayı tam bir düzgün uzay oluşturur. Başka bir deyişle, sayılabilir

$\|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }e^{-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|}|f(z)|$

norm ailesi tarafından doğurulan topolojiyle donatıldığında, bu uzay bir Fréchet uzayı olur.