Ursell sayısı

Akışkanlar dinamiğinde, Ursell sayısı, bir akışkan tabakasındaki yüzeysel ağırlık dalgalarının (İng. surface gravity waves) nonlineerlik derecesini belirten bir boyutsuz parametredir. Bu terim, 1953 yılında önemini tartışan Fritz Ursell'in adıyla anılmaktadır.^[1]

Ursell sayısı, dalga boyunun su derinliğinden çok daha büyük olduğu sığ su durumunda, nonlineer periyodik dalgalar için bir Stokes dalgası genişlemesi olan bir pertürbasyon teorisi ile türetilmiştir. Ursell sayısı U şu şekilde tanımlanır:

U={\frac {H}{h}}\left({\frac {\lambda }{h}}\right)^{2}\,=\,{\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}},

Bu, birinci dereceden terime göre serbest yüzey yükselmesindeki ikinci dereceden terimlerin genlik oranıdır (3 / (32 π²) sabiti hariç).^[2] Kullanılan parametreler:

H : dalga yüksekliği, yani dalga tepe ve çukur yükseklikleri arasındaki fark,
h : ortalama su derinliği, ve
λ : dalga boyu, derinliğe kıyasla büyük olmalıdır, λ ≫ h.

Dolayısıyla Ursell parametresi U, göreceli dalga yüksekliği H / h ile göreceli dalga boyunun λ / h karesi çarpımına eşittir.

Uzun dalgalar (λ ≫ h) için Ursell sayısı küçük olduğunda, U ≪ 32 π² / 3 ≈ 100,^[3] doğrusal dalga teorisi geçerlidir. Aksi halde (ve genellikle) oldukça uzun dalgalar (λ > 7 h)^[4] için nonlineer bir teori – Korteweg–de Vries denklemi veya Boussinesq denklemleri – kullanılmalıdır. Bu parametre, farklı bir normalleştirme ile, 1847 yılında yüzeysel ağırlık dalgaları (İng. surface gravity waves) üzerine yazdığı tarihî makalesinde George Gabriel Stokes tarafından tanıtılmıştır.^[5]

Notlar

^ Ursell, F (1953). "The long-wave paradox in the theory of gravity waves". Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 49 (4). ss. 685-694. Bibcode:1953PCPS...49..685U. doi:10.1017/S0305004100028887.
^ Dingemans (1997), Part 1, §2.8.1, pp. 182–184.
^ This factor is due to the neglected constant in the amplitude ratio of the second-order to first-order terms in the Stokes' wave expansion. See Dingemans (1997), p. 179 & 182.
^ Dingemans (1997), Part 2, pp. 473 & 516.
^ Stokes, G. G. (1847). "On the theory of oscillatory waves". Transactions of the Cambridge Philosophical Society. Cilt 8. ss. 441-455.
Reprinted in: Stokes, G. G. (1880). Mathematical and Physical Papers, Volume I. Cambridge University Press. ss. 197-229.

Kaynakça

Dingemans, M. W. (1997). "Water wave propagation over uneven bottoms". Advanced Series on Ocean Engineering. Cilt 13. World Scientific. s. 25769. ISBN 978-981-02-0427-3. In 2 parts, 967 pages.
Svendsen, I. A. (2006). Introduction to nearshore hydrodynamics. Advanced Series on Ocean Engineering. 24. Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-256-142-8. 722 pages.

[1] Ursell, F (1953). "The long-wave paradox in the theory of gravity waves". Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 49 (4). ss. 685-694. Bibcode:1953PCPS...49..685U. doi:10.1017/S0305004100028887.

[2] Dingemans (1997), Part 1, §2.8.1, pp. 182–184.

[3] This factor is due to the neglected constant in the amplitude ratio of the second-order to first-order terms in the Stokes' wave expansion. See Dingemans (1997), p. 179 & 182.

[4] Dingemans (1997), Part 2, pp. 473 & 516.

[Stokes1847-5] Stokes, G. G. (1847). "On the theory of oscillatory waves". Transactions of the Cambridge Philosophical Society. Cilt 8. ss. 441-455.
Reprinted in: Stokes, G. G. (1880). Mathematical and Physical Papers, Volume I. Cambridge University Press. ss. 197-229.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]