Trigama fonksiyonu

Matematik'te, trigama fonksiyonu, ψ₁(z), olarak gösterilen ikincil poligama fonksiyonu'dur ve tanımı

\psi _{1}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)

.

Bu tanıma dayanarak

\psi _{1}(z)={\frac {d}{dz}}\psi (z)

burada ψ(z) digama fonksiyonu'dur. Seri toplamı olarak da tanımlanabilir.

\psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},

\psi _{1}(z)=\zeta (2,z).

Not son iki formülde 1-z doğal sayı değildir..

Hesaplama

Bir çift integral gösterimi

\psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}{\frac {dy}{y}}\int _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}\,dx}{1-x}}

geometrik seri toplamı için kullanılan bir formül. Kısmi integrasyonla:

\psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,dx

Asimtotik açılım Bernoulli sayıları yardımıyla olur

$\psi _{1}(1+z)={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}$ .

The trigamma fonksiyonuna karşı gelen tekrarlama ilişkisi:

\psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}

\psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)=\pi ^{2}\csc ^{2}(\pi z).\,

Trigama fonksiyonunun bazı özel değerleri:

$\psi _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8K$

$\psi _{1}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2}}$

$\psi _{1}(1)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

Burada K gösterimi Catalan sabiti'dir.