Süreklilik yasası

Süreklilik yasası, Gottfried Leibniz tarafından Cusalı Nicholas ve Johannes Kepler'in daha önceki çalışmalarına dayanan buluşsal bir ilkedir. Sonlu için başarılı olan, sonsuz için de başarılı olur ilkesidir.^[1] Kepler, dairenin alanını sonsuz küçük kenarlı sonsuz kenarlı bir çokgen olarak temsil ederek ve tabanı sonsuz küçük olan sonsuz sayıda üçgenin alanlarını birbirine ekleyerek hesaplamak için süreklilik yasasını kullandı. Leibniz bu ilkeyi aritmetik işlemler gibi kavramları sıradan sayılardan sonsuz küçüklere genişletmek için kullandı ve sonsuz küçükler hesabının temelini attı. Aktarım ilkesi, hipergerçek sayılar bağlamında süreklilik yasasının matematiksel bir uygulamasını sağlar.

Geometride kesişim sayılarına ilişkin ilgili bir süreklilik yasası Jean-Victor Poncelet tarafından "Traité des propriétés projektif des Figures" adlı eserinde öne sürülmüştür.^[2]^[3]

Tarihçe

Felsefedeki bu ilkenin kökenleri, zamanın hareketini suların sürekli birbirinin yerini aldığı bir nehre benzeten Herakleitos'un pasajlarında bulunabilir. Biraz daha gelişmiş bir formda: sonlu için doğru olan her şey sonsuz için de doğrudur şeklinde ifade edilebilecek bu ilke, Nikolai Kuzansky ve Johannes Kepler tarafından formüle edilmiştir.^[1] Böyle bir formülasyonda, modern bakış açısıyla, bu yasa hatalıdır -örneğin, kardinalitesini bir ölçü olarak alırsak, "bütün bir parçadan daha büyüktür" ifadesi sonlu kümeler için doğrudur ancak sonsuz kümenin büyüklüğü için doğru değildir. (Galileo paradoksu). Ayrıca Kepler, bir dairenin alanını hesaplamak için süreklilik yasasını kullandı; bunun için bir daireyi sonsuz sayıda kenarı olan sonsuz küçük uzunlukta bir çokgen olarak sundu.

Modern zamanlarda, Leibniz tarafından geliştirilen bu ilke matematik, fizik ve evrensel olarak geçerli olduğu düşünülen metafiziğe uygulandı.^[4] Leibniz'in tipik formülasyonları:^[5]

“	Maddenin tek bir parçasının olmadığına inanıyorum -sadece bölünmez demeyeceğim, ama aslında bölünmemiş bile ve bu nedenle, maddenin en küçük herhangi bir parçacığı, sayısız farklı yaratıkla dolu bir dünya olarak düşünülmelidir. Hiçbir şey hemen olmaz ve benim en temel ve güvenilir önermelerimden biri, doğanın asla sıçrama yapmamasıdır... Bu yasanın fizikteki önemi çok büyüktür: bu yasa sayesinde küçükten büyüğe ve tam tersi her geçiş, ara miktarlardır.	„

Leibniz'in formülasyonu

Leibniz, yasayı 1701'de aşağıdaki terimlerle ifade etti:

“	Herhangi bir sınırda biten herhangi bir varsayılan sürekli geçişte, son sınırın da dahil edilebileceği genel bir akıl yürütmeye izin verilir (Cum Prodiisset).^[6]	„

Fransız matematikçi Pierre Varignon'a yazdığı 1702 tarihli "Sonsuz Küçükler Hesabının Sıradan Cebir ile Gerekçelendirilmesi (Justification of the Infinitesimal Calculus by that of Ordinary Algebra)" başlıklı bir mektupta Leibniz, yasasının gerçek anlamını "sonlunun kurallarının sonsuzda başarılı olduğu bulundu." diyerek yeterince özetledi.^[7]

Süreklilik yasası, Leibniz'in sonsuz küçükler hesabının gerekçelendirilmesi ve kavramsallaştırılması için önemli hale geldi.

Matematikte

Leibniz bu ilkeyi sonsuz küçük niceliklerle aritmetik işlemlerin olasılığını kanıtlamak için kullandı ve matematiksel analizi doğrulamak için kullanmayı umdu.

Gaspard Monge, Tanımlayıcı Geometri (1799) monografında kendi formülünü verdi:^[8]

“	Bir şeklin konum ilişkisini ifade eden ve sürekli olarak birbirine bağlı sayısız durumda gerekçelendirilen herhangi bir özelliği, yalnızca belirli sınırlar içinde gerçekleştirilebilen yapıların yalnızca varsayımda kanıtlamasını kabul etse bile, sınırlar, aslında üretilebilir aynı türden tüm şekillere genişletilebilir. Bu özellik, ispat için gerekli bazı ara değerlerin tamamen ortadan kalkması nedeniyle, varsayılan yapıların gerçekte üretilemediği durumlarda bile gerçekleşir.	„

Geometrideki kesişme sayılarına ilişkin süreklilik yasasına ilişkin benzer bir fikir, Jean Victor Poncelet'in "İzlenimli şekillerin özellikleri üzerine inceleme" (Traité des propriétés projectives des figures) adlı çalışmasında geliştirilmiştir.^[2]^[9]

Cantor'un iç içe aralıklar lemması olarak da adlandırılan süreklilik ilkesi, reel sayılar kümesinin sürekliliğini kanıtlar (veya postüla eder).

Karmaşık analizde analitik devamlılık teoremleri geçerlidir. İki ayrık $G_{1}$ ve $G_{2}$ alanını ve bu alanlarda analitik olan $f_{1}$ ve $f_{2}$ fonksiyonlarını düşünün. Ayrıca, $f_{1}$ ve $f_{2}$ süreklilik özelliğine sahip bir Jordan eğrisi olsun, $f_{1}$ ve $f_{2}$ sürekli olarak devam eder ve $\Gamma$ üzerinde $f_{1}\equiv f_{2}$ yürütülür. Ardından, $F$ fonksiyonu, $G_{1}\cup \Gamma \cup G_{2}$ içinde analitik olmak üzere aşağıdaki ilişki ile tanımlanır:

F(z)=\left\{{\begin{matrix}f_{1}(z)&z\in G_{1}\\f_{2}(z)&z\in G_{2}\\f_{1}(z)=f_{2}(z)\quad &z\in \Gamma \end{matrix}}\right.

Transfer ilkesi, hipergerçek sayılar sisteminde süreklilik yasasının matematiksel bir uygulamasını sağlar.

Fizikte

Fizikokimyasal analizde süreklilik ilkesi, sistemde yeni fazlar oluşmazsa veya mevcut olanlar yok olmazsa, sistem parametrelerinde sürekli bir değişiklikle, tek tek fazların özellikleri ve sistemin özellikleri olarak sistemin özelliklerinin sürekli değiştiğini belirtir.^[10]

İndüksiyon teorisinde süreklilik ilkesi: bobindeki manyetik alanın enerji rezervi ve endüktans akımı aniden değişemez (bkz. elektrik devrelerindeki geçici olaylar ve akı bağlantısı).

Diğer bilimlerde

Jeotektonikte, tortul tabakaların sürekliliği ilkesi, tortul tabakanın başlangıçta sürekli bir dağılıma sahip olduğunu ve ancak daha sonra çeşitli jeolojik kuvvetlerin etkisi altında parçalanabileceğini belirtir.

“Bitkiler ve hayvanlar arasında, mineraller ve bitkiler arasında, bilimin henüz keşfetmediği ara formlar vardır: doğal varlıkların merdiveninde kaçırılan hiçbir adım yoktur”.^[4] İskoç ilahiyatçı ve doğa bilimci Henry Drummond, dünyanın çoğu diline çevrilen Spiritüel dünyadaki doğal hukuk adlı tezinde, bilimsel süreklilik ilkesinin fizikselden ruhsal olana kadar uzandığını savundu.

Ayrıca bakınız

Homojenliğin aşkın yasası

Kaynakça

^ ^a ^b Karin Usadi Katz & Mikhail G. Katz (2011) A Burgessian Critique of Nominalistic Tendencies in Contemporary Mathematics and its Historiography. Foundations of Science. DOI:10.1007/s10699-011-9223-1 See arxiv
^ ^a ^b Poncelet, Jean Victor. Traité des propriétés projectives des figures: T. 1. Ouvrage utile à ceux qui s' occupent des applications de la géométrie descriptive et d'opérations géométriques sur le terrain." (1865), pp. 13–14
^ Fulton, William. Introduction to intersection theory in algebraic geometry. No. 54. American Mathematical Soc., 1984, p. 1
^ ^a ^b Piama Pavlovna Gaidenko (2004), "Leibniz", Büyük Rus Ansiklopedisi (Rusça) ^{[ölü/kırık bağlantı]}
^ Piama Pavlovna Gaidenko (2001), ПОНЯТИЕ ВРЕМЕНИ И ПРОБЛЕМА КОНТИНУУМА [Zaman kavramı ve süreklilik sorunu: konunun tarihi], 26 Temmuz 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 26 Temmuz 2021
^ Child, J. M. (ed.): The early mathematical manuscripts of Leibniz. Translated from the Latin texts published by Carl Immanuel Gerhardt with critical and historical notes by J. M. Child. Chicago-London: The Open Court Publishing Co., 1920.
^ Leibniz, Gottfried Wilhelm, & Leroy E. Loemker. Philosophical Papers and Letters. 2d ed. Dordrecht: D. Reidel, 1970, p. 544
^ Торхова Е. К. & Агафонова Я. А. "ГаспарМонж – основоположник современной начертательной геометрии" (PDF) (Rusça). 26 Temmuz 2021 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 18 Ağustos 2020.
^ Fulton, William. Introduction to intersection theory in algebraic geometry. No. 54. American Mathematical Soc., 1984, p. 1
^ Kurnakov N. S. (1940). V. Ya. Anosov & M. A. Klochko (Ed.). Fiziksel ve kimyasal analize giriş (4 bas.). M.-L.: SSCB Bilimler Akademisi yayınevi. s. 562. 4 Mart 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 26 Temmuz 2021.

[karin-1] Karin Usadi Katz & Mikhail G. Katz (2011) A Burgessian Critique of Nominalistic Tendencies in Contemporary Mathematics and its Historiography. Foundations of Science. DOI:10.1007/s10699-011-9223-1 See arxiv

[poncelet-2] Poncelet, Jean Victor. Traité des propriétés projectives des figures: T. 1. Ouvrage utile à ceux qui s' occupent des applications de la géométrie descriptive et d'opérations géométriques sur le terrain." (1865), pp. 13–14

[3] Fulton, William. Introduction to intersection theory in algebraic geometry. No. 54. American Mathematical Soc., 1984, p. 1

[ansiklopedi-4] Piama Pavlovna Gaidenko (2004), "Leibniz", Büyük Rus Ansiklopedisi (Rusça) ^{[ölü/kırık bağlantı]}

[5] Piama Pavlovna Gaidenko (2001), ПОНЯТИЕ ВРЕМЕНИ И ПРОБЛЕМА КОНТИНУУМА [Zaman kavramı ve süreklilik sorunu: konunun tarihi], 26 Temmuz 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 26 Temmuz 2021

[6] Child, J. M. (ed.): The early mathematical manuscripts of Leibniz. Translated from the Latin texts published by Carl Immanuel Gerhardt with critical and historical notes by J. M. Child. Chicago-London: The Open Court Publishing Co., 1920.

[7] Leibniz, Gottfried Wilhelm, & Leroy E. Loemker. Philosophical Papers and Letters. 2d ed. Dordrecht: D. Reidel, 1970, p. 544

[8] Торхова Е. К. & Агафонова Я. А. "ГаспарМонж – основоположник современной начертательной геометрии" (PDF) (Rusça). 26 Temmuz 2021 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 18 Ağustos 2020.

[9] Fulton, William. Introduction to intersection theory in algebraic geometry. No. 54. American Mathematical Soc., 1984, p. 1

[10] Kurnakov N. S. (1940). V. Ya. Anosov & M. A. Klochko (Ed.). Fiziksel ve kimyasal analize giriş (4 bas.). M.-L.: SSCB Bilimler Akademisi yayınevi. s. 562. 4 Mart 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 26 Temmuz 2021.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

g t d Sonsuz küçükler
Tarihçe	Neredeyse eşitlik (Adequality) Leibniz gösterimi İntegral sembolü Standart olmayan analizin eleştirisi The Analyst The Method of Mechanical Theorems Cavalieri priensibi Bölünmezler yöntemi
İlgili dallar	Standart olmayan analiz Standart olmayan hesap İç küme teorisi Sentetik diferansiyel geometri Düzgün sonsuz küçük analizi Yapıcı standart olmayan analiz Sonsuz küçük gerinim teorisi (fizik)
Biçimselleştirme	Diferensiyeller Hiper reel sayılar Dual sayılar Gerçeküstü sayılar
Bireysel kavramlar	Standart parça fonkisyonu Aktarma prensibi Hiper tam sayı Artış teoremi Monad İç küme Levi-Civita cismi Hiper sonlu küme Süreklilik yasası Taşma Mikro-süreklilik Homojenliğin aşkın yasası
Matematikçiler	Gottfried Wilhelm Leibniz Abraham Robinson Pierre de Fermat Augustin-Louis Cauchy Leonhard Euler
Kitaplar	Analyse des Infiniment Petits Elementary Calculus Cours d'Analyse