N-küre hacminin türevi

Geometri'de, bir küre'nin hacmi için bir özel durum n-boyutlu Euclid uzayı içindeki bir kürenin n-boyutlu hacmidir .

n-kürenin hacimlerinin türevleri

Genel form (özyineleme formu)

n-kürenin yarıçapı r. olmak üzere V⁽ⁿ⁾[r], n-küre

hacmi

$V^{(1)}[r]=2r\,$

Çünkü bu yarıçapın iki katı uzunlukta düz bir çizgidir i.e.

$\{x\in \mathbb {R} :|x|\leq r\}.$

n ≥ 1 için:

$V^{(n+1)}[r]=\int _{-r}^{r}V^{(n)}\left[{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,\right]\,dx.$

n^inci kuvvetten yarıçaplı hacim

n^inci kuvvetten yarıçaplı n-küre'nin hacmini indüksiyon yoluyla gösterebiliriz .Tek boyutludan yararlanmak n boyutlu çıkarımlar için destek olur:

$V^{(n)}[r]=r^{n}V^{(n)}[1].\,$

Buradan:

$V^{(n+1)}[r]=\int _{-r}^{r}V^{(n)}\left[{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,\right]dx,$

$V^{(n+1)}[r]=r\int _{-1}^{1}V^{(n)}\left[{\sqrt {r^{2}-(rx)^{2}}}\,\right]\,dx,$

$V^{(n+1)}[r]=r\int _{-1}^{1}V^{(n)}\left[r{\sqrt {(1-x^{2})}}\,\right]dx,$

$V^{(n+1)}[r]=r\int _{-1}^{1}r^{n}V^{(n)}\left[{\sqrt {(1-x^{2})}}\,\right]dx=r^{n+1}V^{(n+1)}[1].$

Biz şimdi bütün n ≥ 1,için n^inci kuvvetten yarıçap uzunlukluklu n-kürenin hacmini; birim kürenin hacmini n-kürenin $V^{(n)}$ ile gösterirsek:

$V^{(n)}[r]=r^{n}V^{(n)},\,$

$V^{(n+1)}=\int _{-1}^{1}\left({\sqrt {1-x^{2}}}\,\right)^{n}V^{(n)}\,dx,$

$V^{(n+1)}=V^{(n)}\int _{-1}^{1}\left({\sqrt {1-x^{2}}}\,\right)^{n}\,dx.$

İlk birkaç adım

$V^{(2)}$ durumunda

$V^{(2)}=V^{(1)}\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx=2\left.{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}+\arcsin x}{2}}\right|_{x=-1}^{1}=\pi ,$

birim çember bölgesinden, son türevler(çıkarımlar)'la, birim küre hacmi, kolayca:

$V^{(3)}=V^{(2)}\int _{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)dx={\frac {4}{3}}\pi .$

Genel Durum

Genlleştirilmiş herhangi boyutta bir türevlerini denemek için:

$V^{(n+1)}=V^{(n)}\int _{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n/2}dx=V^{(n)}\cdot 2\int _{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n/2}dx$

Burada integrandın davranışını grafik yoluyla kolayca görselleştirebiliriz:

Görüldüğü gibi, hiperküre boyut sayısı arttıkça sıkıştıkça sıkışır.

u değişken değiştirmesi koyarak  = 1 − x² :

$x={\sqrt {1-u}}{\text{ ve }}dx={\frac {-du}{2{\sqrt {1-u}}}}$

$V^{(n+1)}=V^{(n)}\cdot 2\int _{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n/2}\,dx=V^{(n)}\int _{0}^{1}u^{n/2}(1-u)^{-1/2}\,du$

integral'in sağı beta fonksiyonu olarak bilinir:

$V^{(n+1)}=V^{(n)}\mathrm {B} \left({\frac {n}{2}}+1,{\frac {1}{2}}\right),$

gama fonksiyonu terimleri ile de gösterilebilir:

$V^{(n+1)}=V^{(n)}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+{\frac {3}{2}}\right)}}.$

Bütün l n ≥ 1 için

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},$ den dolayı induksiyon'la kolayca doğrulanabilir:

$V^{(n)}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}.$

Genel form ve yüzey alanı

n-kürenin "yüzey alanı" ("n" − 1)-boyutlu (n − 1)-kürenin hacim ölçümü,n-küre hacimli kürenin yarıçapı ile kolayca bulunabilir .

Bu nedenle n-küre yarıçapı r ile gösterirsek

$V^{(n)}[r]={\frac {\pi ^{n/2}r^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}},$

Buradan "yüzey alanı"

$S^{(n-1)}[r]={\frac {\partial }{\partial r}}V^{(n)}[r]={\frac {\pi ^{n/2}nr^{n-1}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}={\frac {2\pi ^{n/2}r^{n-1}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.$

İleri genelleme

p ≠ 2 üzerindeki durumlarda integrasyon metodu,L^p uzay kürelere taşınmalıdır göründüğü gibi sorun pek kolay değil, bu problemin bilgi teorisi ve kodlama teorisi için çok büyük önemi vardır. Nükleer patlamalarda atomaltı kuvvetlerin kuvvetlerin simülasyonunda saçılma kesrinin Çok boyutlu hiperküre hacminin doğru ve titiz hesaplanmasıyla alakalıdır. Ayrıca, başlangıç ifadeler (n) karmaşık analitik sürekli oldukları için boyutsal düzenleme'de ve standart model'de temel parçacıklarla ilgili hesaplamalarda temel bir adım olarak kullanılır.

Kaynakça

• http://www.brouty.fr/Maths/sphere.html17 Temmuz 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Ayrıca bakınız

• n-küre

ileri kaynak

• http://mathworld.wolfram.com/Hypersphere.html29 Mart 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• https://web.archive.org/web/20080914195848/http://www-staff.lboro.ac.uk/~coael/hypersphere.pdf
• http://www.mathreference.com/ca-int,hsp.html3 Nisan 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.