Lambert W fonksiyonu

Matematikte, Lambert W fonksiyonu, aynı zamanda Omega fonksiyonu veya çarpım logaritması olarak da bilinen bir fonksiyon kümesidir.

f(w) = we^w fonksiyonunda e^w üstel fonksiyon ve w herhangi bir karmaşık sayı olmak üzere, bu fonksiyonun tersinin şubelerini ifade eder.

z=W(z)e^{W(z)}

Y=Ae^{A}\;\Longleftrightarrow \;A=W(Y)

z(1+W){\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}=W\quad {\text{for }}z\neq -1/e.

{\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad {\text{for }}z\not \in \{0,-1/e\}.

\left.{\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}\right|_{z=0}=1.

W(x) Fonksiyonun integrali şu şekildedir.

\int W(a)\,{\rm {d}}a=a\left(W(a)-1+{\frac {1}{W(a)}}\right)+C.

Lambert W Fonksiyonun Serisi:

W(a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ a^{n}=a-a^{2}+{\frac {3}{2}}a^{3}-{\frac {8}{3}}a^{4}+{\frac {125}{24}}a^{5}-\cdots

.

Doğal logaritma tabanı e w türünden özelliği: $e^{W(a)}=\left({\frac {a}{W(a)}}\right)$ İntegrali ise:

\int e^{W(a)}\,{\rm {d}}a=a^{2}(1+2W(a)){\frac {1}{4W(a)^{2}}}+C.

Lambert W Fonksiyonun yaklaşık değeri:

W_{0}(x)\approx \ln(x)-\ln(\ln(x))+\ln(\ln(x))/\ln(x)

Lamber W Fonksiyonun sürekli kesri:

xe^{x}=y\Rightarrow e^{x}={\frac {y}{x}}\Rightarrow x=ln({\frac {y}{x}})

şimdi bu denklemde sol taraftaki x i sağ taraftaki x in yerine sonsuza kadar yazılırsa sürekli kesir meydana gelir.

x=ln{\cfrac {y}{ln{\cfrac {y}{ln{\cfrac {y}{lny_{\ddots }}}}}}}

o zaman

xe^{x}=y\Rightarrow x=W(y)

şimdi yerine yazılırsa sonuç:

W(y)=ln{\cfrac {y}{ln{\cfrac {y}{ln{\cfrac {y}{lny_{\ddots }}}}}}}

Bazı Değerler

$W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}{\rm {i}}$

$W\left(-{\frac {\ln a}{a}}\right)=-\ln a\quad \left({\frac {1}{e}}\leq a\leq e\right)$

$W_{-1}\left(-{\frac {\ln a}{a}}\right)=-\ln a\quad \left(a\geqslant e\right)$

$W_{0}\left(A{\ln A}\right)=\ln A\quad \left(A\geqslant {\frac {1}{e}}\right)$

$W\left(-{\frac {1}{e}}\right)=-1$

$W\left(0\right)=0\,$

$W\left(1\right)=\Omega ={\frac {1}{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\rm {d}}x}{(e^{x}-x)^{2}+\pi ^{2}}}}}-1\approx 0.56714329\dots \,$ (Omega Sabiti)

$W\left(e\right)=1\,$

$W\left(-1\right)\approx -0.31813-1.33723{\rm {i}}\,$

$W'\left(0\right)=1\,$

$W\left(2\right)=0.852605502013725...\,$

Lambert W Fonksiyonuyla ilgili örnekler:

Örnek : 1

f(x)exp(f(x))=y\Rightarrow f(x)=W(y)

yola çıkarak

x.e^{x}=2\Rightarrow x=W(2)

Örnek : 2

(m+8).exp(m+8)=ln5\Rightarrow m+8=W(ln5)\Rightarrow m=W(ln5)-8

(Burada

exp(a)=e^{a}

demektir.)

Örnek : 3

x^{x}=6\Rightarrow xlnx=ln6

burada hayal gücünü kullanarak her iki tarafın doğal logaritması alındı x=e^lnx şeklinde olursa ki bu örnek : 1 deki formüle benzetmek için. Kesinlikle ezberletme yok sadece örnek 1 deki formüle benzetmek yeterli.

[lnx]exp(lnx)=ln6\Rightarrow ln(x)=W(ln6)\Rightarrow x=exp(W(ln6))

(Burada lnx=f(x) e ve y=ln6 oldu.)

Örnek : 4

3^{x}=8x

denkleminin çözümü için her iki tarafın doğal logaritması alınırsa

xln3=ln(8x)\Rightarrow ln3={\frac {1}{x}}ln(8x)\Rightarrow {\frac {ln3}{8}}={\frac {1}{8x}}ln(8x)

yandaki denklem 1/(8x) ile çarpıldı . Her iki tarafın -1 ile çarpılırsa

-{\frac {ln3}{8}}={\frac {1}{8x}}ln({\frac {1}{8x}})\Rightarrow {\frac {1}{8x}}=exp(ln{\frac {1}{8x}})

lambert W Fonksiyonuna uygun bir denklem elde edildi bu denklem

-{\frac {ln3}{8}}={\frac {1}{8x}}exp(ln{\frac {1}{8x}})ln({\frac {1}{8x}})\Rightarrow ln[{\frac {1}{8x}}]=W(-{\frac {ln3}{8}})

(Burada f(x)=ln(1/(8x)) ve y=-(ln3)/8 oldu formül uygulandı.) Son denklemde x çekilirse ^{${\frac {1}{8x}}=exp[W(-{\frac {ln3}{8}})]\Rightarrow x={\frac {1}{8.exp[W(-{\frac {ln3}{8}})]}}$} olur.