Kullanıcı:Hanifeturk/deneme tahtası

Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanmaktadır. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir. Fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade etmektedir. Örneğin, "Tüm canlılar topluluğu", "Dilimiz alfabesindeki harflerin topluluğu", "Masamın üzerindeki tüm kâğıtlar" tümcelerindeki nesnelerin anlaşılabilir, belirgin oldukları, kısaca iyi tanımlı oldukları açıkça ifade edilmektedir. Dolayısıyla bu tümcelerin her biri bir kümeyi tarif etmektedir. O halde, matematikte "İyi tanımlı nesnelerin topluluğuna küme denir." biçiminde bir tanımlama yapılmaktadır.

Tanımda geçen nesne sözcüğü aslında yeterince açıklık ifade eden bir sözcük değildir. Ama sezgisel olarak, kümeyi oluşturan nesnelerin iyice tanımlı olduklarını; yani belirgin, başka nesnelerden ayırt edilebilir şeyler olduklarını düşünüyoruz demektir. Bir bakıma, bir kümeyi oluşturan nesnelerin tek tek neler olduklarını düşünmekten çok, bir arada düşünebilir olmaları önemsenir.

Bir kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin ögeleri veya elemanları adı verilir. Güneş, evrendeki yıldızlar kümesinin bir ögesidir. Bir kümenin ögesi olan nesne o kümenin içinde veya kümeye aittir. Küme tanımına göre bir öge ya kümenin içinde ya da içinde değildir.

Küme Kavramının Kökeni

Küme kavramının matematiğe Georg Cantor (1845-1918) ile girdiği kabul edilir. Georg Cantor kümeyi iyi tanımlanmış ve birbirinden farklı nesneler topluluğu olarak tanımlamaktadır. ^[1] İyi tanımlanmış ile kastedilen, herkes tarafından aynı şekilde anlaşılan bir tanımdır.

Cantor'dan öncede, adına küme denilmese bile matematikçiler bu kavramı yer yer örtülü bir şekilde kullanırdı. Cantor, kümeler kuramının temellerine ilişkin kapsamlı soruları ortaya koydu. Bu gelişmeler, matematiğe ve özellikle formalist akıma 20. yüzyılın ilk yarısında katkı verdi.

Küme Kavramları

Eğer a elemanı A kümesine aitse bu ifade $a\in A$ olarak; ait değilse $a\not \in A$ biçiminde göstermektedir.
A kümesinin eleman sayısı belirtilirken s(A) veya m(A) ifadesi kullanılmaktadır.
A ile B' nin kesişimi $A\cap B$ şeklinde gösterilmektedir. ^[2]
A ile B' nin birleşimi $A\cup B$ şeklinde gösterilmektedir. ^[2]
A' nın B'den farkı $A/B$ , B'nin A'dan farkı $B/A$ olarak gösterilmektedir. ^[2]
Eğer A kümesinin elemanlarının aynısı B kümesinde de varsa $A\subseteq B$ (A,B'nin alt kümesidir.) veya $B\supseteq A$ (B, A'yı kapsar.) ifadesi kullanılmaktadır. Eğer yoksa sembollerin üstüne bir çizik atılmaktadır. ^[2]
Hiçbir ögesi bulunmayan kümeye boş küme denir. Boş küme, $\{$ $\}$ ya da $\emptyset$ şeklinde gösterilmektedir. Boş küme, bütün kümelerin alt kümesidir.
Bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme $\mathrm {E}$ şeklinde gösterilir.
Eğer $s(A)\equiv s(B)$ ise A, B kümesine denktir. Eğer A ve B kümelerinin elemanları aynıysa $(A=B)$ , hiçbir elemanları aynı değilse ayrık küme $(A\neq B)$ olurlar. ^[2]
$\mathrm {E}$ kümesinde A'dan ayrık olan elemanlar gösterilirken, bu elemanlar A'nın tümleyeni $(A^{'},A^{-})$ kümesinde toplanır. A'nın üstünde bir virgül veya kısa çizgi olarak gösterilir. ^[2]

Kümelerin Gösterimi

Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.

Liste Yöntemi: Kümenin elemanları $\{$ $\}$ sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır. Örneğin, $A=\{a,b,\{a,b,c\}\}$ ise, $s(A)=3$ tür.
Ortak özelik yöntemi: Kümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir. $A=\{x:...\}$ Burada " $x:$ " ifadesi "öyle x'lerden oluşur ki" diye okunur. Bu ifade $\{x|...\}$ biçiminde de yazılmaktadır.
Şema Yöntemi: Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak (sol üstteki resim) gösterilir. Bu gösterime Venn şeması ile gösterimi denir.

Kullanılan Simgeler

Simge	Simgenin açıklaması	Simge	Simgenin açıklaması
∈	Elemanıdır	∪	Birleşim
∉	Elemanı değildir	∩	Kesişim
∋	Eleman olarak kapsar	⊎	Birden fazla küme bileşenleri
⊂	Alt kümesi	∅	Boş küme
⊃	Üst kümesi	≇	Ne yaklaşık ne de fiili olarak
⊆	Alt küme veya eşit	≤	Küçük veya eşit
⊇	Üst küme veya eşit	≥	Büyük veya eşit
≠	Eşit değil	≮	Küçük değil
<	Küçüktür	≰	Küçük veya eşit değil
>	Büyüktür	≱	Büyük veya eşit değil
≡	Denktir	≢	Denk değil
≈	Hemen hemen eşit	≅	Yaklaşık olarak eşit
∼	Benzer	⋚	Küçük eşit veya büyük
≫	Çok daha büyük	≪	Çok daha küçük
=	Eşit	≠	Eşit değil

Eşit Küme ve Denk Küme

Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

A kümesi B kümesine eşit ise $A=B$ biçiminde gösterilir.
C kümesi D kümesine denk ise $C\equiv D$ biçiminde gösterilir.

Önemli Not: Eşit olan kümeler aynı zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.

Boş Küme

Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme $\{$ $\}$ veya $\emptyset$ sembolleri ile gösterilir.

Önemli Not: $\{\emptyset \}$ kümesi, boş küme ifade etmemektedir. Bu küme bir elemana sahiptir.

Özel Sayı Kümeleri

$\mathrm {N}$ veya $\mathbb {N}$ , doğal sayılar kümesi: $\mathrm {N} =\{0,1,2,3,4,...\}$ (bazı matematikçiler 0'ı dahil etmemektedir.) ^[3]
$\mathrm {Z}$ veya $\mathbb {Z}$ , tam sayılar kümesi (negatif tam sayılar, pozitif tam sayılar ve 0 dahil): $\mathrm {Z} =\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$ ^[3]
$Q$ veya $\mathbb {Q}$ , rasyonel sayılar kümesi (tam sayılar ve kesirli ifadeler dahil): $Q=\{a\backslash b:a,b\in Z,b\neq 0\}$ . Örneğin, $-3\backslash 2\in Q$ ve $4=4\backslash 1\in Q$ ^[3]
$R$ veya $\mathbb {R}$ , reel sayılar kümesi: [rasyonel sayılar kümesi ve irrasyonel sayılar kümesi ( ${\sqrt {2}}$ gibi kesirli ifade biçiminde yazılamayan cebirsel sayıların yanı sıra $\pi$ ve $e$ gibi sayılar) dahil] ^[3]
$C$ veya $\mathbb {C}$ , karmaşık sayılar kümesi: $C=\{a+bi:a,b\in R\}$ . Örneğin, $1+2i\in C$ . ^[3]

Yukarıda yer alan sayı kümelerinin her biri sonsuz sayıda elemana sahiptir. Her biri bulunduğu satırın altında yer alan kümelerin bir alt kümesidir.

Pozitif veya negatif sayı kümeleri, küme sembolünün üzerine $+$ veya $-$ sembolü konularak ifade edilmektedir. Örneğin; pozitif tam sayılar kümesi $Z^{+}$ , negatif tam sayılar kümesi $Z^{-}$ biçiminde ifade edilmektedir.

Evrensel Küme

Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle $E$ ile gösterilmektedir. Yabancı kaynaklarda çoğunlukla $U$ ile gösterilmektedir. ^[4]

Ayrıca Bakınız

Kaynakça

^ Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Boston: Harvard University Press. ISBN 0-691-02447-2.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Halmos, Paul R. (1960). Naive Set Theory. Princeton, N.J.: Van Nostrand. ISBN 0-387-90092-6.
^ ^a ^b ^c ^d ^e George Tourlakis (13 February 2003). Lectures in Logic and Set Theory: Volume 2, Set Theory. Cambridge University Press. p. 137. ISBN 978-1-139-43943-5.
^ Stoll, Robert R. (1979). Set Theory and Logic. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 0-486-63829-4.

[1] Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Boston: Harvard University Press. ISBN 0-691-02447-2.

[:1-2] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Halmos, Paul R. (1960). Naive Set Theory. Princeton, N.J.: Van Nostrand. ISBN 0-387-90092-6.

[:0-3] George Tourlakis (13 February 2003). Lectures in Logic and Set Theory: Volume 2, Set Theory. Cambridge University Press. p. 137. ISBN 978-1-139-43943-5.

[4] Stoll, Robert R. (1979). Set Theory and Logic. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 0-486-63829-4.

[1]

[2]

[3]

[4]