İçeriğe atla

Koebe dörtte bir teoremi

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Koebe dörtte bir teoremi, yalınkat fonksiyonların görüntü kümelerinin boyutuyla ilgili bir sonuçtur. Teorem, 1907'de sonucu hipotez olarak öne süren Paul Koebe'nin adını taşımaktadır. İspât, 1916 yılında Ludwig Bieberbach tarafından verilmiştir.[1]

Buna benzer başka sonuç Schwarz önsavıdır. Her ikisiyle alâkalı bir kavram ise açıkorururluk yarıçapıdır.

Teoremin ifadesi

[değiştir | kaynağı değiştir]

, karmaşık düzlemde birim disk, ise yalınkat bir fonksiyon olsun. O zaman, merkezli ve yarıçaplı disk, görüntü kümesinin içinde yer alır.

Teoremdeki sabiti Koebe fonksiyonu tarafından verildiği için en iyi kestirimdir.

Koebe fonksiyonu

[değiştir | kaynağı değiştir]

Koebe fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanır:

Serinin yakınsaklık bölgesi noktasındaki tekillikten dolayı birim disktir. Ayrıca, basit bir hesapla, ve olduğu elde edilebilir. Diğer taraftan, fonksiyonun holomorf olduğu açıktır ve türevi üzerinden fonksiyonun birebirliği de hemen elde edilir. Diğer deyişle, Koebe fonksiyonu yalınkat fonksiyondur.

Ayrıca, eşitliğinin tek çözüm kümesi den oluşur. Bu yüzden, kümesi merkezi orijin olan ve yarıçapı ten büyük olan bir diski içeremez.

Döndürülmüş Koebe fonksiyonu ise

tarafından verilir. Koebe fonksiyonu ve tüm döndürülmüş fonksiyonları schlichttir; yani, bu fonksiyonlar, birebir holomorf fonksiyonlardır ve , özelliklerine sahiplerdir.

Bieberbach eşitsizliği

[değiştir | kaynağı değiştir]

Birim diskte yalınkat olan

fonksiyonunu ele alalım. O zaman, Bieberbach eşitsizliğine göre

olmalıdır.

Eşitsizliğin ispatı Grönwall alan teoreminin

fonksiyonuna uygulanmasından geçer. Burada eşitlik ancak ve ancak döndürülmüş bir Koebe fonksiyonuysa elde edilir. Bu sonuç, Bieberbach tarafından 1916 yılında kanıtlanmıştır. Sadece için değil de bütün ler için

olduğunu iddia eden ünlü Bieberbach hipotezinin kaynağı bu sonuca dayanmaktadır. Bieberbach hipotezi, 1985 yılında Louis de Branges tarafından kanıtlanmıştır[2] ve sonuç artık De Branges teoremi olarak bilinmektedir.

Fonksiyonu öteleyerek ya da berileyerek ve gerekirse döndürerek ve ölçekleyerek

olduğunu varsayabiliriz. O zaman,

yazılabilir. Bu halde, Bieberbach eşitsizliğinden, olacaktır. Eğer sayısı, kümesinin içinde değilse,

fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyon, birim disk içinde yalınkat olacaktır. Bieberbach eşitsiliğinden elde edilen sonucu kullanarak

elde edilir. Böylelikle,

olur.

Koebe büyüme ve bozulma teoremi

[değiştir | kaynağı değiştir]

Yalınkat fonksiyonların nasıl büyüyebileceğini ve birim diskteki basit eğri ve doğruların, ve hatta açıların, yalınkat fonksiyonların gönderimi altında nasıl çabukça bozulabileceğini kontrol eden sonuçlar yine Koebe ismi altında incelenir. Bu sonuçlar, doğrudan Bieberbach eşitsizliği ve Koebe dörtte bir teoremi kullanılarak elde edilebilir.[3]

fonksiyonu üzerinde yalınkat olsun. Ayrıca, ve özellikleri sağlansın ve olsun. O zaman,

eşitsizlikleri vardır. Dahası, eşitlik durumları ancak ve ancak fonksiyonu döndürülmüş bir Koebe fonksiyonuysa sağlanır; yani,

olursa eşitlikler elde edilir.

  1. ^ Bieberbach, Ludwig (1916), "Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln", S.-B. Preuss. Akad. Wiss., ss. 940-955 
  2. ^ de Branges, Louis (1985), "A proof of the Bieberbach conjecture", Acta Mathematica, 154 (1), ss. 137-152, doi:10.1007/BF02392821, MR 0772434 
  3. ^ Pommerenke, C. (1975), Univalent functions, with a chapter on quadratic differentials by Gerd Jensen, Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, 15, Vandenhoeck & Ruprecht 

Ayrıca bakınız

[değiştir | kaynağı değiştir]