Jensen eşitsizliği

Jensen eşitsiliği dışbükey bir fonksiyonun kesen doğrusunun grafiğin üzerinde kaldığı ifadesini genelleştirir.

Matematikte Jensen eşitsizliği dışbükey ve içbükey fonksiyonlar için temel bir eşitsizliktir. Eşitsizliğin birkaç değişik biçimi vardır; özellikle, analizde ve bilgi teorisinde başka birçok eşitsizliğin de temelini oluşturmaktadır.

Eşitsizlik, adını 17 Ocak 1905'te Danimarka Matematik Derneği'nin bir konferansında sunan Danimarkalı matematikçi ve mühendis Johan Ludwig Jensen'den almıştır. Biraz farklı koşullar altında sunulmuş ve Otto Hölder tarafından 1889 yılında kanıtlanmış bir hâli de bulunabilir.

Jensen eşitsizliği, bir dışbükey fonksiyonun sonlu sayıdaki noktalardan oluşan bir dışbükey katışım (kombinasyon) noktasında aldığı değerin, fonksiyonun bu sonlu noktadaki aldığı değerlerinin sonlu dışbükey katışımından küçük veya eşit olduğunu belirtir. Eşitlik her zaman doğrusal fonksiyonlar için geçerlidir. Özellikle, Jensen eşitsizliği, bir dışbükey fonksiyonun kesen doğrusunun fonksiyonun grafiğinin üstünde yer aldığı ifadesini genelleştirir. Başka bir deyişle, Jensen iki nokta için kullanıldığında, fonksiyonun grafiğinin iki noktasını kesen doğru (t ∈ [0,1] için),

$tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}),$

olurken, fonksiyonun grafiğinin bu noktalar arasındaki kısmı ise

$f(tx_{1}+(1-t)x_{2})$

tarafından verilir. Sonuç olarak, Jensen eşitsizliği

$f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2})$

halini alır.

Eşitsizliğin değişik biçimdeki ifadeleri

Sonlu biçimi

Gerçel değerli bir $\varphi$ fonksiyonu ve bu fonksiyonun tanım kümesinde $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ noktaları olsun. Toplamları 1 olan pozitif $a_{i}$ sayıları için

$\varphi \left({\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}}\right)\leq {\sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi (x_{i})}$

olur. Eğer fonksiyon içbükeyse, eşitsizlik yönü değişir ve

$\varphi \left({\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}}\right)\geq {\sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi (x_{i})}$

olur. Eşitlik, ancak ve ancak $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$ olursa ya da $\varphi$ doğrusal bir fonksiyonsa gerçekleşir.

Aritmetik ortalama-geometrik ortalama eşitsizliği

Eğer $a_{i}={\frac {1}{n}}$ alınırsa, o zaman, yukarıdaki eşitsizlikler

$\varphi \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\leq {\frac {\sum \varphi (x_{i})}{n}}$

ve

$\varphi \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\geq {\frac {\sum \varphi (x_{i})}{n}}$

olurlar. Dahası, fonksiyonu $f(x)=\log(x)$ alırsak, o zaman, bu fonksiyon içbükey olduğu için $$\log \!\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\right)\geq {\frac {\sum _{i=1}^{n}\log \!\left(x_{i}\right)}{n}}$$ elde edilir. Her iki tarafın ilk önce üstelini alıp, daha sonra üstel fonksiyon ile logaritmanın birbirlerinin tersi olduğunu ve bu fonksiyonların özelliklerini kullanarak $${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}$$ aritmetik ortalama-geometrik ortalama eşitsizliğini elde ederiz.

Ölçü kuramındaki biçimi

$(\Omega ,A,\mu )$ bir olasılık uzayı olsun. $f:\Omega \to \mathbb {R}$ fonksiyonu $\mu$-ölçülebilir olsun ve $\varphi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ dıişbükey bir fonksiyon olsun. O zaman, $$\varphi \left(\int _{\Omega }f\,\mathrm {d} \mu \right)\leq \int _{\Omega }\varphi \circ f\,\mathrm {d} \mu$$ olur. Gerçel analizde, bazen, negatif olmayab ve Lebesgue integrali var olan bir $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ fonksiyonu ve belli bir $a,b\in \mathbb {R}$ sayıları için

$\varphi \left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)$

ifadesinin kestirimi lazım olur. Elbette, bu durumda, $[a,b]$ aralığının uzunluğu 1 olmayabilir. Bu durumda, integralde yerine koyma yöntemiyle bu aralığı ölçeklendirip eşitsizliğin kullanımına uygun hâle getirebiliriz.

$\varphi \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\varphi (f(x))\,dx.$

Olasılıktaki biçimi

$(\Omega ,{\mathfrak {F}},\operatorname {P} )$ olasılık uzayı, X gerçel değerli ve integrallenebilir bir rasgele değişken ve $\varphi$ dışbükey bir fonksiyon olsun. O zaman,

$\varphi \left(\operatorname {E} [X]\right)\leq \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right].$

Olasılık durumunda, μ ölçüsünün yerine $\operatorname {P}$ olasılığı, μ'ye göre olan integralin yerine $\operatorname {E}$, yani, beklenen değer, ve son olarak, foknsiyon $f$ yerine de X rasgele değişkeni gelmiştir. Son olarak, eşitlik ancak ve ancak $\varphi$, $\mathrm {P} (X\in A)=1$ özelliğini sağlayan dışbükey bir $A$ kümesi üzerinde doğrusal olursa sağlanır.

Kanıtlar

Sonlu biçim için kanıt

Sonlu biçimdeki Jensen eşitliğinin kanıtı tümevarımla verilebilir. Fonksiyonun dışbğkeyliğinden başlangıç adımı $n=2$ için doğrudur. Diyelim ki tümevarımdaki varsayım gereği, bir $n$ sayısı için eşitsilik doğru olsun. Yani, her x₁, ..., x_n için ve λ₁ + ... + λ_n = 1 olan her λ₁, ..., λ_n için

$\varphi \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\varphi \left(x_{i}\right)$

doğru olsun. Eşitsizliği, n + 1 için kanıtlamamız gerekecek. Bu durumda, λ₁ + ... +λ_n + λ_n+1 = 1 olduğu içn, en azından bir tane λ_i $1$den kesin küçük olacak. Diyelim ki, λ_n+1 olsun. Dışbükey eşitsizliğinden

${\begin{aligned}\varphi \left(\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}x_{i}\right)&=\varphi \left((1-\lambda _{n+1})\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{n+1}}}x_{i}+\lambda _{n+1}x_{n+1}\right)\\&\leq (1-\lambda _{n+1})\varphi \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{n+1}}}x_{i}\right)+\lambda _{n+1}\,\varphi (x_{n+1})\end{aligned}}$

yazabiliriz. λ_n+1 $1$den kesin küçük olduğu için

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{n+1}}}=1$

yazılabilir. O hâlde, tümevarım varsayım adımını kullanarak,

$\varphi \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{n+1}}}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{n+1}}}\varphi (x_{i})$

elde ederiz. Bu yüzden,

${\begin{aligned}\varphi \left(\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}x_{i}\right)&\leq (1-\lambda _{n+1})\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{n+1}}}\varphi (x_{i})+\lambda _{n+1}\,\varphi (x_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}\varphi (x_{i})\end{aligned}}$

olur.

Ölçü kuramsal biçim için kanıt

$(\Omega ,A,\mu )$ bir olasılık uzayı olsun. $f:\Omega \to \mathbb {R}$ fonksiyonu $\mu$-ölçülebilir olsun ve $\varphi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ dışbükey bir fonksiyon olsun.

$\varphi$ dışbükey olduğu için, her gerçel $x$ sayısı için, boş olmayan bir alttürev kümesi vardır. Burada, alttürev kümesi $\varphi$nin grafiğine $x$ noktasında dokunan ama $\varphi$nin grafiğinin altında kalan doğrular olarak düşünülebilir. Şimdi,

$x_{0}:=\int _{\Omega }g\,d\mu ,$

tanımlarsak, dışbükey fonksiyonların altürevlerinin varlığı sayesinde, öyle bir $a$ ve $b$ seçebiliriz ki

$ax+b\leq \varphi (x),$

eşitliği tüm $x$ değerleri için sağlanır. Sonuç olarak,

$ax_{0}+b=\varphi (x_{0})$

olur ve o zaman, hemen hemen tüm $\omega \in \Omega$ için

$\varphi \circ g(\omega )\geq ag(\omega )+b$

olur. Olasılık ölçüsünde olduğumuz için, integralin de artma özelliği vardır ($\mu (\Omega )=1$). Böylece,

$\int _{\Omega }\varphi \circ g\,d\mu \geq \int _{\Omega }(ag+b)\,d\mu =a\int _{\Omega }g\,d\mu +b\int _{\Omega }d\mu =ax_{0}+b=\varphi (x_{0})=\varphi \left(\int _{\Omega }g\,d\mu \right)$

elde edilir.