Vikipedi, özgür ansiklopedi
e
π
≈
23.14069263277926
…
.
{\displaystyle e^{\pi }\approx 23.14069263277926\dots \,.}
sayısına Aleksandr Gelfond 'a atfen Gelfond sabiti adı verilmiştir; e π e sayısının π 'nci kuvvetidir ve aşkın sayıdır .Gelfond–Schneider theorem 'i ile kanıtlanabilir.
e
π
=
(
e
i
π
)
−
i
=
(
−
1
)
−
i
{\displaystyle e^{\pi }\;=\;(e^{i\pi })^{-i}\;=\;(-1)^{-i}}
i sayısı imajiner kısımdır ve -i'de cebirsel bir sayıdır, ama
e
π
{\displaystyle e^{\pi }}
cebirsel sayılar 'dan değildir, yani transandantal sayılar dandır ve Hilbert 'in yedinci teoreminde bahsi geçer.
Matematiksel açıdan estetik olan yönü;
e
π
=
i
−
2
i
{\displaystyle e^{\pi }\;=\;i^{-2i}}
e
π
/
2
=
i
−
i
{\displaystyle e^{{\pi }/2}\;=\;i^{-i}}
ifadesi ile daha iyi anlaşılabilir.Çünkü eşitliğin bir tarafı tamamen reel'ken diğer tarafı tamamen imajinerdir. (hangisi gerçek?!)
Gelfond sabiti onluk sayı sisteminde açılımında:
e
π
≈
23.14069263277926
…
.
{\displaystyle e^{\pi }\approx 23.14069263277926\dots \,.}
k
0
=
1
2
{\displaystyle \scriptstyle k_{0}\,=\,{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}
k
n
=
1
−
1
−
k
n
−
1
2
1
+
1
−
k
n
−
1
2
{\displaystyle k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}}}
n
>
1
{\displaystyle n>1}
[kaynak belirtilmeli
(
4
/
k
n
)
2
1
−
n
{\displaystyle (4/k_{n})^{2^{1-n}}}
bununda limiti
e
π
{\displaystyle e^{\pi }}
n-boyutlu kürenin (veya n-sphere ) hacmi
V
n
=
π
n
2
R
n
Γ
(
n
2
+
1
)
.
{\displaystyle V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n} \over \Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}.}
şeklinde verilir.
Birim veya üzeri tüm boyutlardaki kürenin hacmini özetleyen formül
V
2
n
=
π
n
n
!
{\displaystyle V_{2n}={\frac {\pi ^{n}}{n!}}\ }
Birim ve üzerindeki boyutlardaki kürelerin hacimlerinin toplamını veren formül:
∑
n
=
0
∞
V
2
n
=
e
π
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}=e^{\pi }.\,}
e
π
−
π
=
19.99909997918947
…
.
{\displaystyle e^{\pi }-\pi =19.99909997918947\ldots \,.}
e
π
2
=
i
−
i
≈
4.81047738096535
…
.
{\displaystyle e^{\frac {\pi }{2}}\;=\;i^{-i}\approx 4.81047738096535\dots \,.}
e
−
π
2
=
i
i
≈
0.20787957635076
…
.
{\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}\;=\;i^{i}\approx 0.20787957635076\dots \,.}
e
−
π
2
4
=
e
(
ln
i
)
2
=
i
ln
i
≈
0
,
1076929315
…
.
{\displaystyle e^{-{\frac {\pi ^{2}}{4}}}\;=\;e^{{(\ln i)}^{2}}\;=\;i^{\ln i}\approx 0,1076929315\dots \,.}
e π ile π e arasındaki ilişki:
π
e
=
e
e
ln
π
≈
22
,
4591577183610454
…
.
{\displaystyle \pi ^{e}\;=\;e^{{e}\,\ln {\pi }}\approx 22,4591577183610454\dots \,.}
e
ln
π
≈
3
,
111698447198
…
.
{\displaystyle \;{{e}\,\ln {\pi }}\approx 3,111698447198\dots \,.}
π
−
e
ln
π
≈
0
,
0298942063913
…
.
{\displaystyle {\pi }-\;{{e}\,\ln {\pi }}\approx 0,0298942063913\dots \,.}
e
π
−
e
ln
π
=
e
π
π
e
=
1
,
03034552421621
{\displaystyle e^{{\pi }-\;{{e}\,\ln {\pi }}}\;={\frac {e^{\pi }}{\pi ^{e}}}\;=1,03034552421621}
e
e
ln
π
−
π
=
π
e
e
π
=
0
,
970548205914423
{\displaystyle e^{\;{{e}\,\ln {\pi }}-{\pi }}\;={\frac {\pi ^{e}}{e^{\pi }}}\;=0,970548205914423}
π
e
e
π
+
e
π
π
e
;
=
2
,
0008937301306
{\displaystyle {\frac {\pi ^{e}}{e^{\pi }}}+{\frac {e^{\pi }}{\pi ^{e}}};=2,0008937301306}
1. ^ Nesterenko, Y (1996). "Modular Functions and Transcendence Problems".
Comptes rendus de l'Académie des sciences Série 1 322 (10): 909–914.
2. ^ Connolly, Francis. University of Notre Dame
