Euler-Maruyama yöntemi

Matematiğin bir alt dalı olan stokastik analizde Euler-Maruyama yöntemi stokastik diferansiyel denklemlere yaklaşık sayısal çözümler üretmek için geliştirilmiş yöntemlerden biridir. Adi diferansiyel denklemler için geliştirilmiş olan Euler yönteminin stokastik diferansiyel denklemlere uyarlanmasıyla oluşmuştur. Yöntem adını, Leonhard Euler ve Gishiro Maruyama'dan almaktadır.

Yöntemin açıklaması

W_t, Wiener süreci olsun. Başlangıç koşulu X₀ = x₀ olan ve

\mathrm {d} X_{t}=a(X_{t},t)\,\mathrm {d} t+b(X_{t},t)\,\mathrm {d} W_{t},

hâlindeki stokastik bir diferansiyel denklemi [0, T] aralığında sayısal olarak çözmek istediğimizi varsayalım. Stokasitk diferansiyel denklemin teorik çözümü $X$ ile gösterilsin. $X$ 'in Euler-Maruyama yaklaşıklığı aşağıdaki gibi kurulup tanımlanan ve bir Markov zinciri olan $Y$ dir.

[0, T] aralığını N tane eşit altaralığa bölelim. Her altaralığın uzunluğu $\Delta t>0$ ile gösterilsin. O zaman,

0=\tau _{0}<\tau _{1}<\cdots <\tau _{N}=T{\text{ ve }}\Delta t=T/N

olacaktır.

Y₀ = x₀ tanımlansın.
0 ≤ n ≤ N-1 için $\Delta W_{n}=W_{\tau _{n+1}}-W_{\tau _{n}}$ olmak üzere, Y_n terimleri yinelemeli olarak

\,Y_{n+1}=Y_{n}+a(Y_{n},\tau _{n})\,\Delta t+b(Y_{n},\tau _{n})\,\Delta W_{n}

olarak tanımlansın. Bahsi geçen ΔW_n rasgele değişkenleri bağımsız ve özdeş dağılmış normal rastgele değişkenlerdir. Her birinin beklenen değeri sıfırdır ve her biri Δt varyansına sahiptir.

Yakınsaklık

Stokastik diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümlerine bakılırken doğruluğu ölçmenin iki yaygın yöntemi vardır. Bunlar zayıf yakınsaklık ve güçlü yakınsaklık kavramlarıdır.^[1]^[2] Zayıf yakınsaklıkta ortalamaların hatasına bakılırken, güçlü yakınsaklıkta ise hataların ortalamalarına bakılır.

Euler-Maruyama yaklaşıklık yönteminde, eğer $a(X_{t},t)$ ve $b(X_{t},t)$ fonksiyonları Lipschitz ise, yani, L bir sabit olmak üzere her $t\in [0,T]$ ve tüm $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ için

|a(x,t)-a(y,t)|<L|x-y|\quad {\text{ ve }}\quad |b(x,t)-b(y,t)|<L|x-y|

sağlanıyorsa, o zaman

zayıf yakınsaklık mertebesi $1$ olur:

\sup _{0\leq \tau _{n}\leq T}\left(\mathbb {E} [X_{\tau _{n}}]-\mathbb {E} [Y_{\tau _{n}}]\right)=O(\Delta t)

güçlü yakınsaklık mertebesi ise ${\frac {1}{2}}$ olur:

\mathbb {E} \left[\sup _{0\leq \tau _{n}\leq T}\left|X_{\tau _{n}}-Y_{\tau _{n}}\right|\right]=O(\Delta t^{\frac {1}{2}}).

Örnekler

Simülasyon örneği

Kısmi diferansiyel denklemlerden önemli ölçüde faydalanan alanlardan biri matematiksel biyolojidir. Birçok biyolojik süreç hem stokastik hem de doğası gereği sürekli olduğundan, kısmi diferansiyel denklemleri çözmenin sayısal yöntemleri bu alanda oldukça değerlidir.

Grafik, Euler-Maruyama yöntemi kullanılarak çözülen stokastik bir diferansiyel denklemi göstermektedir. Deterministik karşılığı mavi renk ile, sayısal yaklaşım ise yeşil renk ile gösterilmiştir.

Programlama uygulaması

dY_{t}=\theta \cdot (\mu -Y_{t})\,{\mathrm {d} }t+\sigma \,{\mathrm {d} }W_{t}

Y_{0}=Y_{\mathrm {ilk} }

biçiminde verilmiş olan bir Ornstein-Uhlenbeck sürecini sayısal olarak çözmek için Euler-Maruyama yöntemi kullanılabilir.

Rastgele sayıların NumPy tarafından verildiği bir Python programlama kodu aşağıdaki gibi verilebilir:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from textwrap import wrap

class Model:
    """Stokastik modelin  sabitleri."""
    THETA = 0.5
    MU = 1.5
    SIGMA = 0.1

def mu(y: float, _t: float) -> float:
    """Ornstein–Uhlenbeck sürecinin sürüklenme sabiti"""
    return Model.THETA * (Model.MU - y)

def sigma(_y: float, _t: float) -> float:
    """Ornstein–Uhlenbeck sürecinin difüzyon sabiti"""
    return Model.SIGMA

def dW(delta_t: float) -> float:
    """Normal rastgele değişken çekilişi"""
    return np.random.normal(loc=0.0, scale=np.sqrt(delta_t))

def simulasyon(t_i:int, t_s:int, adim_sayisi:int):
    """bir simülasyon yolağı"""
    T_ILK = t_i
    T_SON = t_s
    N = adim_sayisi 
    DT = float(T_SON - T_ILK) / N
    Tler = np.arange(T_ILK, T_SON + DT, DT)
    assert Tler.size == N + 1

    Y_ILK = 0

    yler = np.zeros(Tler.size)
    yler[0] = Y_ILK
    for i in range(1, Tler.size):
        t = T_ILK + (i - 1) * DT
        y = yler[i - 1]
        yler[i] = y + mu(y, t) * DT + sigma(y, t) * dW(DT)

    return Tler, yler

#Birkaç simülasyonun aynı grafikte çizimi
sim_sayisi=5
 # [2, 20] aralığında 5000 zaman adımında hesaplıyoruz
t_i=2#
t_s=20
adim_sayisi=5000
for _ in range(sim_sayisi):
    plt.plot(*simulasyon(t_i, t_s, adim_sayisi))

plt.xlabel("zaman (s)")
plt.ylabel("y")
plt.title("\n".join(wrap(
r"$\theta=$ {}, $\mu=$ {} ve $\sigma=$ {} parametreleri verilen bir Ornstein–Uhlenbeck sürecine [{},{}] aralığında {} zaman adımlı Euler-Maruyama yöntemiyle yapılan yaklaşıklamalarının {} yolaklı simülasyonu".format(Model.THETA, Model.MU, Model.SIGMA, t_i, t_s, adim_sayisi, SIM_SAYISI))), fontsize='small')
plt.savefig('EulerMaruyama.png', format="png")
plt.show()

Ayrıca bakınız

Kaynakça

^ Kloeden, P.E.; Platen, E. (1999). Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer, Berlin.
^ Milstein, G.N.; Tretyakov, M.V. (2004). Stochastic Numerics for Mathematical Physics. Springer, Berlin.

[1] Kloeden, P.E.; Platen, E. (1999). Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer, Berlin.

[2] Milstein, G.N.; Tretyakov, M.V. (2004). Stochastic Numerics for Mathematical Physics. Springer, Berlin.

[1]

[2]