Carleman eşitsizliği

Matematikte Carleman eşitsizliği Denjoy-Carleman teoreminin analitiğimsi fonksiyonlar sınıfı üzerinde kanıtlanmasında kullanılan bir eşitsizliktir. Eşitsizlik, sonucu 1923'te kanıtlamış olan Torsten Carleman'ın adını taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

Negatif olmayan bir gerçel sayılar dizisi $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ için

$\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\right)^{1/n}\leq \mathrm {e} \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

eşitsizliği sağlanır.

Eşitslikteki Euler sayısı ($\mathrm {e}$) en iyi sabittir; yani, eşitsizlikte $\mathrm {e}$ yerine bu sayıdan daha küçük olan başka bir gerçel sayı alınarak eşitsizlik yine aynı genellikte elde edilemez. Eğer $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ dizisindeki elemenlardan bazıları sıfırdan farklı ise kesin eşitsizlik vardır; yani, bu gibi diziler için, eşitsizlik "≤" yerine "<" ile yazılabilir.

İntegral biçimi

Eşitsiliğin integral biçimi şu şekilde ifade edilebilir: Her f ≥ 0 için

$\int _{0}^{\infty }e^{\left\{{\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}\ln f(t)\,\mathrm {d} t\right\}}\,\mathrm {d} x\leq \mathrm {e} \int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x$

eşitsizliği yazılabilir.

Carleson eşitsizliği

Eşitsizliğin bir genelleştirmesi Lennart Carleson tarafından şu şekilde verilmiştir:
g(0) = 0 özelliğini sağlayan dışbükey her g fonksiyonu ve her -1 < p < ∞ için

$\int _{0}^{\infty }x^{p}\mathrm {e} ^{-g(x)/x}\,\mathrm {d} x\leq \mathrm {e} ^{p+1}\int _{0}^{\infty }x^{p}\mathrm {e} ^{-g'(x)}\,\mathrm {d} x$

eşitsizliği vardır. p = 0 alınarak Carleman eşitsizliği elde edilir.

Dış bağlantılar

• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Carleman inequality", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104