Özdeşlik teoremi

Karmaşık analizde holomorf fonksiyonlar için özdeşlik teoremi, bağlantılı açık bir D kümesi üzerinde verilmiş olan f ve g gibi iki holomorf fonksiyon D içindeki bir z noktasının komşuluğunun üzerinde eşit olursa (yani f = g ise), o zaman bu iki fonksiyonun D üzerinde eşit olduklarını ifade eder. Bu yüzden, holomorf bir fonksiyon tamamıyla, D içinde muhtemelen çok küçük bir komşuluktaki değerleriyle belirlenir. Bu durum, gerçel türevlenebilir fonksiyonlar için doğru değildir. Karşılaştırıldığında, holomorfluk veya karmaşık türevlenebilirlik, daha esnek olmayan bir fikirdir.

Teoremin altında esas olan fikir holomorf fonksiyonların Taylor serisi olarak açılabilmeleri; yani, holomorf fonksiyonların analitikliğidir.

Kanıt

D bölgesi üzerindeki bağlantılılık varsayımı gereklidir ve aslında kısa bir kanıtın anahtarıdır. (Açıkçası, D iki açık ve ayrık kümeden oluşursa, sonuç burada doğru olmaz.) Bu varsayım altında, verilen küme boş olmadığı için, topoloji açısından iddia, f ve g 'nin hem açık hem de kapalı olan bir küme üzerinde eşit oldukları anlamına gelir. Burada kapalılık, f ve g 'nin sürekliliğinden ileri gelmektedir.

Bu yüzden, ana fikir f ve g 'nin birbirine eşit olduğu açık kümeyi göstermektir. Bir holomorf fonksiyon kendi tanım kümesindeki her yerde kendi Taylor serisi vasıtasıyla temsil edilebildiği için

$S=\{z\in D|f^{(k)}(z)=g^{(k)}(z)\quad ;\;\forall k\geq 0\}.$

kümesini göz önüne almak yeterlidir.

w, S 'nin içinde bir nokta olsun. O zaman, f ve g 'nin Taylor serileri pozitif yakınsaklık yarıçapına sahip olduğundan, belli bir r için B_r(w) açık diski de S içinde yer alır. (Aslında r, w 'nin D 'nin sınırına olan uzaklığından küçük herhangi bir sayı olabilir.) Bu S 'nin açık olduğunu gösterir ve teoremin kanıtını verir.

Bir iyileştirme

Teoremin varsayımları aynı sonucu üretecek şekilde hafifçe gevşetilebilir. Belirli bir şekilde, D üzerindeki iki holomorf fonksiyon, D içindeki yığılma noktası (bu nokta c olsun) olan bir kümede aynıysa, o zaman D üzerinde f=g 'dir.

Bunu kanıtlamak için, her k ≥ 0 için f^(k)(c) = g^(k)(c) olduğunu göstermek yeterlidir. Eğer böyle olmazsa, m, f^(m)(c) ≠ g^(m)(c) eşitsizliğini sağlayan negatif olmayan en küçük tam sayı olsun. holomorfluk dolayısıyla, c 'nin açık bir komşuluğunda aşağıdaki Taylor serisi temsili vardır:

${\begin{aligned}(f-g)(z)&{}=(z-c)^{m}\cdot [\,(f-g)^{(m)}+(f-g)^{(m+1)}(z-c)+\cdots \,]\\&{}=(z-c)^{m}\cdot h(z)\\\\\end{aligned}}$

Bariz bir şekilde, h, c etrafındaki açık bir B diskinde sıfır değeri almaz. Ancak, bu halde, delikli B - {c} kümesi üzerinde f - g ≠ 0 olur. Ama bu da c 'nin yığılma noktası olmasıyla {f = g} çelişir ve bu yüzden iddia kanıtlanır.

Teoremin bu formülasyonu, karmaşık bir a sayısı için f = a olmadıkça f ^-1(a) 'nın ayrık (ve sayılabilir) bir küme olduğunu gösterir.

Kaynakça

• Ablowitz, Mark J.; Fokas A. S., Complex variables: Introduction and applications, Cambridge University Press, Cambridge, Birleşik Krallık, 1997, sf. 123, ISBN 0-521-48058-2.