Çin kalan teoremi

Sunzi'nin orijinal çözümü:x ≡ 2 (mod 3) ≡ 3 (mod 5) ≡ 2 (mod 7) denklikler çözüldüğünde k bir tamsayı olmak üzerex = 23 + 105k.

Çin kalan teoremi Gauss'un 1801 tarihli kitabında Disquisitiones Arithmeticae.

Matematikte Çin kalan teoremi, bir n tamsayısının birkaç tam sayıya bölümünden kalanlar biliniyorsa, n'in bu sayıların çarpımına bölümünden kalanın bulunabileceğini belirtir. Buradaki koşul, n'e bölümlerinden kalanlarını bildiğimiz sayıların birbirleriyle aralarında asal olmaları gerekliliğidir.

Örneğin, n'in 3'e bölümünden kalanın 2 olduğunu, 5'e bölümünden kalanın 3 olduğunu ve 7'ye bölümünden kalanın 2 olduğunu biliyorsak; n'in değerini bilmemize gerek kalmadan n'in 105'e (3, 5 ve 7'nin çarpımı) bölümünden kalanın 23 olduğunu bulabiliriz. Daha da önemlisi, bu bize n'nin 105'ten küçük bir doğal sayı olması durumunda n'nin 23 olması gerektiğini söyler.

Teoremin bilinen en eski ifadesi MS 3. ila 5. yüzyılda Çinli matematikçi Sunzi Suanjing tarafından ortaya konulmuştur.

Çin kalan teoremi, yaygın olarak büyük tam sayılarla yapılan hesaplamalarda kullanılır.

İfade

n₁, ..., n_k, 1'den büyük bölenler olmak üzere n_i çarpımını N ile gösterelim. Çin kalan teoremine göre n_i dizisindeki sayı ikililerinin tümü aralarında asalsa ve a₁, ..., a_k tam sayıların 0 ≤ a_i < n_i eşitsizliğini i'nin tüm değerleri için sağlıyorsa, o halde 0 ≤ x < N olmak üzere i'nin her değeri için x'in n_i'ye bölümünden kalanı a_i yapan yalnız bir x değeri vardır.

Bu durum kongrüanslar ile aşağıdaki şekilde yeniden ifade edilebilir:

$n_{i}$ sayıları çiftler halinde aralarında asalsa, a₁, ..., a_k tam sayılar olmak üzere

${\begin{aligned}x&\equiv a_{1}{\pmod {n_{1}}}\\&\,\,\,\vdots \\x&\equiv a_{k}{\pmod {n_{k}}},\end{aligned}}$

denkliğinin mod N'de yalnız bir çözümü vardır.

İspat

Benzersizlik

x ve y sayılarının denkliğin iki farklı çözümü olduğunu varsayalım. x ve y sayıları, n_i'ye bölümlerinde aynı kalanı verdiğinden bu sayıların farkı x − y, n_i'nin her değeri için n_i'nin bir katıdır. n_i'nin bütün değerlerinin aralarında asal olduğu göz ününde bulundurulursa, n_i dizisindeki sayıların çarpımı olan N sayısı da x − y'ye tam bölünür. x ve y sayıları negatif olmayan ve N'den küçük tam sayılar olarak alınırsa farkları olan x − y ancak x = y durumunda N'in bir katıdır.