X ışını kristalografisi

X ışını kristalografisi ile zeolite gibi maddelerdeki atomlar tüm atom konumları tespit edilebilir.

X ışını kristalografisi bir kristalin atomik ve moleküler yapısını incelemek için kullanılan ve kristalleşmiş atomların bir X-ışını demetindeki ışınların kristale özel çeşitli yönlerde kırınımı olayına dayanan, bir yöntemdir. Kırınıma uğrayan bu demetlerin açılarını ve genliklerini ölçerek bir kristalografi uzmanı kristaldeki elektronların yoğunluğunun üç boyutlu bir görüntüsünü elde edebilir. Bu elektron yoğunluğundan kristaldeki atomların kimyasal bağları, kristal yapıdaki düzensizlikler ve bazı başka bilgilerle birlikte ortalama konumları tespit edilebilir.

Tuzlar, metaller, mineraller, yarıiletkenlerde olduğu kadar çeşitli inorganik, organik ve biyolojik moleküller de kristal oluşturabikleri için X-ışını kristalografisi pek çok bilimsel alana temel teşkil etmiştir. Keşfinden itibaren ilk birkaç onyılda bu yöntem, muhtelif malzemelerin -özellikle de mineral ve alaşımların- atomlarının büyüklüklerini, kimyasal bağların uzunlukları ve türleri ile atomik ölçek farklarını bulmakta kullanılmıştır. Yöntem, aralarında vitaminler, ilaçlar, proteinler ve DNA gibi nükleik asitlarinde bulunduğu birçok biyolojik molekülün yapısını ve işlevini ortaya çıkarmıştır. X-ışını kristalografisi halen yeni malzemelerdeki atomik yapının tanımlanması ve farklı deneylere konu malzemeler arasındaki benzerliklerin anlaşılması için kullanılan başlıca yöntemdir. X-ışınıyla anlaşılan kristal yapıları, bir malzemenin alışılmışın dışında yeni elektronik ve esneklik özelliklerini açıklayabilir, kimyasal bir etkileşim sürecine ışık tutabilir veya hastalıklara karşı yeni ecza maddelerinin tasarımına temel teşkil edebilir.

Bir X-ışını kırınım ölçümünde bir açıölçerin üzerine yerleştirilen kristal, yavaş yavaş döndürülürken X-ışınlarıyla bombardımana tabi tutulması neticesinde kırınıma uğrayan ışınlar yansımalar olarak bilinen düzenli aralıklarla dizilmiş bir spot deseni oluşturur. Değişik açılardan elde edilen iki boyutlu görüntüler, matematiksel Fourier dönüşüm yöntemi kullanılarak ve kullanılan nümunenin bilinen kimyasal verileriyle birleştirilerek kristaldeki elektronların üç boyutlu modeli elde edilir. Şayet kristaller çok küçükse ya da iç yapıları yeterince düzenli değilse düşük çözünürlük (bulanıklık) gibi hatalar oluşabilir.

X-ışını kristalografisi, atomik yapıların tespitinde kullanılan birçok başka metotla ilişkilidir. Elektronlar ve nötronların saçılmasından da Fourier dönüşümleriyle yorumlanabilecek benzer kırınım desenleri elde edilebilir. Yeterli büyüklükte kristaller elde etmenin mümkün olmadığı durumlarda, daha az ayrıntılı bilgi verebilecek fiber kırınımı, un kırınımı ve küçük-açı X-ışını saçılması (small-angle X-ray scattering) (SAXS) gibi başka X-ışını metotları devreye sokulabilir. Eğer araştırılan kristal sadece nanokristal zerreler şeklinde bulunabiliyorsa veya kristalitesi zayıfsa, atomik yapıyı belirlemek için elektron kristalografisi metotları uygulanabilir.

Yukarıda sözü edilen X-ışını kırınımı metotları için, saçılma esnektir; saçılan X-ışınları kristale gelen X-ışınlarıyla aynı dalga boyundadır. Buna mukabil, esnek olmayan X-ışını saçılma metotları atomların dizilişlerinden ziyade nümunenin uyarılması araştırma konusu olduğunda daha kullanışlıdır.

Kristallerin ve X-ışınlarının erken bilimsel tarihi

Kepler'in Strena seu de Nive Sexangula adlı eserinden karesel (Şekil A) ve altıgen biçiminde (Şekil B) atom yığılımlarının çizimi.

Kristaller düzen ve simetrilerinden dolayı öteden beri ilgi çekmiş, ancak 17. yüzyıla kadar bilimsel olarak araştırılmamıştır. Johannes Kepler Strena seu de Nive Sexangula (1611) adlı bir çalışmasında kar tanelerinin altıgen simetrilerinin küresel su taneciklerinin düzenli dizilişinden kaynaklandığı hipotezini öne sürmüştür.

X-ışını kristalografisinde kar tanesinin görünümü.

Kristal eşbakışımı (simetrisi) deneysel olarak ilk defa Danimarkalı bir bilim insanı olan ve herhangi bir nümunedeki belli bir kristalin tüm yüzleri arasındaki açıların hep aynı olduğunu ispat eden Nicolas Steno (1669) ile bir kristalin her bir yüzünün üst üste yığılmış aynı büyüklük ve şekle sahip basit bloklar şeklinde tanımlanabileceğini keşfeden René Just Haüy (1784) tarafından araştırılmıştır. Bu sayede 1839 yılında William Hallowes her bir yüze üç küçük tam sayı etiketi verebilmiştir. Günümüzde de kristallerin yüzlerini tanımlamakta halen Miller indisleri kullanılmaktadır. Haüy’ün çalışması kristallerin düzgün üç-boyutlu atom ve molekül dizileri(bir Bravais kafesi) şeklinde olduğu yönündeki akla yatkın fikre ulaşılmasını sağlamıştır; birim hücre birbirine dik olması şart olmayan üç temel eksen boyunca sürekli tekrarlanmaktadır. 19’uncu yüzyılda muhtemel simetrilerin tam bir kataloğu Johan Hessel, Auguste Bravais,  Evgraf Fedorov, Arthur Schönflies ve (gecikmeli olarak) William Barlow tarafından ortaya konmuştur. Mevcut veriler ve fiziksel izahlardan, Barlow 1880lerde daha sonra X-ışını kristalografisi tarafından onaylanan pek çok kristal yapı önermiştir; bununla birlikte, 1880lerde eldeki veriler çok yetersiz olduğundan modeli ikna edici bulunmamıştır.

Buzun X-ışını kristalografi ile elde edilen görünümü.

X-ışınları 1895’te kristal simetrisiyle ilgili teorik çalışmaların sonuçlandığı dönemde Wilhelm Conrad Röntgen tarafından keşfedilmiştir. Fizikçiler başlangıçta X-ışınlarının doğasını (bir elektromanyetik ışıma dalgaları, yani ışığın farklı bir formu olduğu yönünde doğru tahminleri olsa da) tam olarak bilmiyorlardı. O zamanlar, ışığın dalga modeli —özellikle Maxwell’in elektromanyetik radyasyon teorisi— bilim çevrelerinde epeyce kabul görmekteydi. Charles Glover Barkla tarafından gerçekleştirilen deneylerde X-ışınlarının elektromanyetik dalga oluşuyla ilgili enine polarizasyon ve spektrum çizgilerini de içeren ve görünür dalgaboyunda gözlenen özellikler gösterdiğini ortaya koymuştur. Arnold Sommerfeld’in laboratuvarındaki tek yarı deneyleri X-ışınlarının dalga boylarının 1 angstrom civarında olduğunu göstermişti. Bununla birlikte, X-ışınları fotonlardan oluştuğundan tanecik özelliği de göstermekteydi. Foton kavramı 1905’te Albert Einstein tarafından ortaya atılmış, ancak 1922’de  Arthur Compton tarafından X-ışınlarının elektronlardan saçılması deneyiyle doğrulanmasına kadar geniş kabul görmemiştir. Bundan dolayı, X-ışınlarının gazları iyonlaştırma gibi tanecik özellikleri, William Henry Bragg’ın 1907’de X-ışınlarının elektromanyetik dalga olmadığı yönünde iddialarda bulunmasına neden olmuştur. Bununla birlikte, Bragg’ın bakış açısı pek kabul görmemiş ve 1912’de  X-ışını kırınımının gözlemlenmesi sonucunda çoğu bilim insanınca X-ışınlarının bir tür elektromanyetik ışıma olduğu kabul edilmiştir.

Kristallerin X ışını analizi

Bragg kırınımı

Kristaller düzenli atom dizileridir ve X-ışınları elektromanyetik radyasyon dalgaları olarak düşünülebilir. Atomlar X-ışını dalgalarının primer olarak elektronları vasıtasıyla saçılmasına neden olur. Deniz fenerine çarpan bir okyanus dalgasının fenerden uzaklaşan sekonder dairesel dalgalar oluşturması gibi bir elektrona çarpan X-ışını dalgası da elektrondan uzaklaşan sekonder küresel dalgalar oluşturur. Bu olay esnek saçılma olarak bilinir ve elektron(veya deniz feneri) saçıltıcı olarak bilinir. Düzenli olarak yerleştirilmiş saçıltıcılar düzenli küresel dalgalar oluşturur. Bu dalgalar yıkıcı girişimden dolayı çoğu. yönlerde birbirini yok etseler de belli birkaç yönde birbirinin üstüne binerek yapıcı girişim oluştururlar ki, bu da Bragg saçılma kanunuyla bulunur: 2d sin θ =n λBurada d kırınım yüzeyleri arasındaki mesafe, θ geliş açısı, n bir tam sayı ve λ demetin dalga boyudur. Özel yönler kırınım deseni üzerinde yansıma tabir edilen spotlar oluştururlar.Yani X-ışını kırınımı bir elektromanyetik dalganın(X-ışını) düzenli yerleştirilmiş saçıltıcılardan(kristal içindeki atomların tekrarlanan düzenli dizilişi) sekmesinin bir sonucudur.

Kırınım deseni oluşturmada X-ışınları kullanılmaktadır çünkü dalga boyları λ, kristalin içindeki yüzeyler arasındaki mesafe d ile aynı büyüklük mertebesindedir (1–100 angstrom). Prensipte düzenli saçıltıcılara çarpan her dalga, ilk kez Francesco Maria Grimaldi tarafından 1665’te söylendiği gibi kırınım oluşturabilir. Kayda değer bir kırınım oluşabilmesi için, saçıltıcılarla bunlara çarpan dalgaların boyunun birbirine yakın büyüklükte olması gereklidir.

Örneğin güneş ışığının kuş tüylerinde kırınıma uğraması ilk kez 17’nci yüzyılın sonlarında James Gregory tarafından dile getirilmiştir. Görünen dalga boyları için ilk yapay kırınım ağları David Rittenhouse tarafından 1787’de ve Joseph von Fraunhofer tarafından 1821’de imal edilmiştir. Bununla birlikte, görünür ışığın dalga boyu (genellikle 5500 angstrom civarı) kristallerde kırınımı gözlemlemek için çok uzundur. İlk X-ışını kırınım deneyleri öncesine kadar kristallerin kafes yapılarındaki yüzeyler arasındaki mesafe kesin olarak bilinmiyordu.

Kristallerin bir kırınım ağı olarak kullanılabileceğ fikri 1912’de Paul Peter Ewald ve Max von Laue arasında Münih’te bulunan English Garden’daki bir sohbette ortaya çıkmıştır. Ewald tezleri için bir kristal rezonatör fikrini ortaya atmış, ancak görünür ışığın dalga boyu ezonatörlerin arasındaki mesafeden çok büyük olduğu için modelinin geçerliliği test edilememişti. Von Laue bu kadar küçük mesafeleri gözleyebilmek için daha küçük dalgaboyuna ihtiyaç olduğunu fark etti ve X-ışınlarının kristallerdeki birim-hücre ile mukayese edilebilir dalga boyuna sahip olabileceğini ileri sürdü. Von Laue Walter Friedrich ve asistanı Paul Knipping adında iki teknisyenle çalıştı ve bir X-ışını demetini bakır sülfat kristaline göndererek kırınım desenini bir fotoğrafik levhaya kaydetti. Banyodan sonra levha üzerinde merkezi demet çevresinde birbiriyle kesişen çemberlerden oluşan çok sayıda belirgin spotların düzenli bir desen oluşturduğu görüldü. Von Laue saçılma açılarıyla kristaldeki birim-hücreler arası mesafelerinin büyüklük ve yönelmesi arasındaki ilişkiyi açıklayan ve 1914’te Nobel Fizik Ödülünü almasına vesile olan bir kanun geliştirmiştir.

Saçılım

Aşağıdaki matematiksel çıkarımda tanımlandığı gibi, X-ışını saçılması kristaldeki elektronların yoğunluğuyla belirlenir. Bir X-ışının enerjisi valans elektronun enerjisinden çok daha büyük olduğu için, saçılma bir elektromanyetik ışının serbest bir elektronla etkileşimini açıklayan Thomson saçılması gibi modellenebilir. Bu model genellikle saçılan radyasyonun polarizasyonunu tanımlamak için kullanılır.

m kütleli bir tanecik için Thomson saçılmasının genliği:

$I_{o}=I_{e}\left({\frac {q^{4}}{m^{2}c^{4}}}\right){\frac {1+\cos ^{2}2\theta }{2}}=I_{e}7.94.10^{-26}{\frac {1+\cos ^{2}2\theta }{2}}=I_{e}f$

Bundan dolayı elektrondan kat be kat ağır olan atom çekirdeğinin saçılan X-ışınına etkisi ihmal edilebilir.

1912’den 1920’ye kadar meydana gelen gelişmeler

Elmas (sol üst) grafit (sağ üst). Altta onların x-ışını kristallografisinden elde edilen örüt (kristal) yapıları.

Von Laue'nun öncü araştırmalarından sonra, özellikle fizikçiler William Lawrence Bragg ve babası William Henry Bragg sayesinde bu alanda hızlı gelişmeler olmuştur. 1912–1913 yıllarında, the genç Bragg gözlemlenen kırınımla kristalde düzenli aralıklarla dizilmiş yüzeylerden yansımaların ilişkisin açıklayan Bragg kanunu bulmuştur.  Bana oğul Braggler, kristalografi alanındaki çalışmalarından dolayı 1915 Nobel Fizik ödülünü paylaşmışlardır. İlk çalışmalar genellikle basit ve tek-boyutlu simetri şeklindeki çalışmalardı. Bununla birlikte, takibeden onyıllar boyunca deneysel ve hesaplamaya yönelik metotların gelişmesiyle birim-hücredeki atomların iki ve üç-boyutlu daha karmaşık dizilişlerdeki atomik pozisyonlarını anlamak mümkün olmuştur.

X-ışını kristalografisinin —o zamanlar kimyasal ve hidrodinamik deneylerle belli belirsiz bilinen— moleküllerin ve minerallerin yapısını tayin etmedeki potansiyeli çok çabuk fark edildi. İlk yapılar basit inorganik kristaller ve minerallerdi, ancak bunlar bile fizik ve kimyanın temel kanunlarının gün yüzüne çıkmasına yetmiştir. 1914’te "çözülen" (yani açığa çıkarılan) ilk atomik kristal yapı sofra tuzununkidir. Elektronların sofra tuzu yapısındaki dağılımı, kristallerin kovalent bağlarla bağlanmış moleküllerden oluşmasının şart olmadığını ve iyonik bileşiklerin varlığını ispat etmiştir.  Elmasın yapısı da, C–C arasındaki her bir bağın uzunluğunun 1.52 angstrom olduğu ve kimyasal bağların düzgün dörtyüzlü şeklinde düzenlendiğinin anlaşılmasıyla aynı yıl çözülmüştür. İlk keşfedilen diğer yapılar arasında 1914’te bakır kalsiyum florür (florit olarak da bilinen CaF₂,), kalsit (CaCO₃) ve prit (FeS₂);  1915’te spinel (MgAl₂O₄); 1916’da titanyum dioksidin (TiO₂) rutile ve  anataz formları;  1919’da pirokrit Mn(OH)₂ ve devamında,  brüsit Mg(OH)₂; yer almaktadır. Ayrıca 1919’da sodyum nitrat (NaNO₃) ve sezyum dikloroiyodit (CsICl₂) Ralph Walter Graystone Wyckoff tarafından tespit edilmiş,  wurtzite (altıgen ZnS)’in yapısı da 1920’de anlaşılmıştır.

Grafitin yapısı 1916’da Peter Debye ve Paul Scherrer bunlardan bağımsız olarak Albert Hull tarafından 1917’de bağlantılı bir metot olan un kırınımıyla  çözülmüştür. Grafitin yapısı 1924’te birbirinden bağımsız iki grup tarafından tek-kristal kırınımı yöntemi kullanılarak bulunmuştur. Hull demir ve magnezyum gibi metallerin yapısını anlamak için un metodunu kullanmıştır.

X-ışını Kristalografisinin Estetik ve Kültürel Önemi

Bilimsel otobiyografisi olarak bilinen X-ışını Analizinin Gelişimi ( The Development of X-ray Analysis ) adlı eserinde Sir William Lawrence Bragg, kristalografinin moleküllerin tekno-estetik yapılarının testil ve eveşyalarıyla ilişkisinden dolayı özellikle kadınlara yaradığını ifade etmiştir. Bragg kristal oluşumlarını "perdeler, duvar kağıtları mozaikler ve güller" ile karşılaştırmasıyla bilinir.

1951’de Britanya Festivali, insülin, çin kumu ve henoglobinin X-ışını kristalografisine dayanan dantel ve baskı tasarlamayı amaçlayan tekstil üreticileriyle tecrübeli kristalografların işbirliği sonucu kurulan Festival Patern Grubuna ev sahipliğ yapmıştır. Projenin yöneticisi konumundaki bilim insanlarının başında o zamanlar Cambridge’deki Cavendish Laboratuvarı’nda müdür yardımcısı olarak görev yapan Helen Megaw bulunuyordu. Megaw kristal diyagramlarından esinlenen ve onların tasarımdaki potansiyelini gören başlıca şahsiyet olarak bilinir. 2008 yılında Londra’daki Hoş Geldiniz Koleksiyonu’nda, festival desen grubu "Atomlardan Desenlere." Adında bir gösteri sunmuştur.

Kimya ve Malzeme Bilimine Katkıları

X-ışını kristalografisi kimyasal bağların ve kovalent olmayan etkileşimlerin daha iyi anlaşılmasına yol açmıştır. İlk çalışmalar atomların yarıçaplarını ortaya çıkarmış, elmasın yapısındaki düzgün dörtyüzlü bağlar, amonyum hekzakloroplatinitteki (IV) düzgün sekizyüzlü bağlar gibi pek çok bağ teorisi ile düzlem karbonat grupgrubunda  ve aromatik moleküllerde gözlenen rezonansı teyit etmiştir. Kathleen Lonsdale'ın 1928 yılında hekzametilbenzenin yapısına ilişkin çalışması benzenin altıgen simetrisini kurmuş ve bu da alifatik C–C bağlarıyla aromatik C–C bağları arasındaki belirgin farkı ortayaçıkarmıştır. Bu buluş araştırmacıları kimya biliminin gelişmes açısından çok önemli sonuçları olan kimyasal bağlar arasında bir rezonans olduğu fikrine ulaştırmıştır. Onun ulaştığı sonuçlar, William Henry Bragg tarafından moleküler yerdeğiştirmenin erken bir formu olan ve başka moleküllere dayanan 1921’de naftalin ve antrasenin modellerini yayınladığı çalışmasında önceden tahmin edilmiştir.

Ayrıca 1920’lerde Victor Moritz Goldschmidt ve daha sonra Linus Pauling kimyasal olarak benzeşmeyen bağları elimine edecek ve atomların bağıl büyüklüklerini belirlmede kullanılan kurallar geliştirdiler. Bu kurallar brookitin (1928) yapısının ve rutil, brookit ve titanyum dioksidin anataz formlarının bağıl kararlılığının anlaşılmasını sağlamıştır.

Bağlanmış iki atom arasındaki mesafe bağ kuvvetinin ve derecesinin hassas bir ölçüsüdür; dolayısıyla X-ışını kristalografisiyle ilgili çalışmalar inorganik kimyada metal-metal çift bağlar, metal-metal dörtlü bağlar ve üç-merkez, iki elektron bağlar gibi daha da egzotik bağ tiplerinin keşfedilmesine yol açmıştır. X-ışını kristalografisi—veya daha açık bir ifadeyle, esnek olmayan Compton saçılması deneyi—yarı kovalent karakterli hidrojen bağlarının varlığına delil olmuştur. Organometalik kimya alanında, ferrosenin X-ışınıyla belirlenen yapısı sandaviç bileşiklerle ilgili bilimsel çalışmaları başlatırken, Zeis’ın tuzu "geri bağlanma" ve metal-pi kompleksleriyle ilgili araştırmaları tetiklemiştir.  Sonuç olarak X-ışını kristalografisi supramoleküler kimyanın, özellikle taçlı eterlerin yapısını ve ev sahibi-misafir kimyasının prensiplerini açıklamakta öncü bir rol üslenmiştir.

Malzeme bilimlerinde  fullerenes gibi pek çok karmaşık inorganik ve organometalik sistem tek-kristal metodu kullanılarak analiz edilmiştir. Tek-kristal kırınımı, polimorflarla ilgi yaşanan problemlerden dolayı ilaç endüstrisinde de kullanılmaktadır. Tek-kristali etkileyen temel faktörler kristalin boyutları ve düzensizliğidir; rekristalizasyon ise küçük-moleküllü kristallerde bu faktörleri geliştirmek çoğunlukla kullanılan bir tekniktir. Cambridge Yapısal Veritabanı 500,000’in üzerinde yapıyı içermektedir. Bunların %99’undsn çoğu X-ışını kristalografisiyle belirlenmiştir.

Mineraloji ve Metalurji

First X-ray diffraction view of Martian soil - CheMin analysis reveals feldspar, pyroxenes, olivine and more (Curiosity rover at "Rocknest", October 17, 2012).

1920lerden bu güne, X-ışını kırınımı metallerde ve minerallerde atomların dizilişini belirlemek için kullanılan en temel metottur. X-ışını kristalografisinin mineralojide uygulaması 1924’te Menzer tarafından tespit edilen gametin yapısıyla başlamıştır. Silikatların sistematik bir X-ışını kristalografik çalışmasına 1920’de girişilmiştir. Bu çalışma,  Si/O oranı değiştikçe silikat kristalleri atomik dizilişlerinde belirgin değişiklikler göstermektedir. Machatschki bu anlayışı alüminyumun silikattaki silisyum atomlarının yerini aldığı minerallere de genellemiştir. X-ışını kristalografisinin metalurjideki ilk uygulaması da aynı şekilde 1920lerin ortalarında olmuştur. En kayda değer olan Linus Pauling’in Mg₂Sn alaşımı onu karmaşık iyonik kristallerin kararlılığı ve yapıları teorisine ulaştırmıştır.

Curiosity rover uzay aracı 17 Ekim 2012’de, Mars gezegeninin üzerinde "Rocknest"te Mars toprağının ilk X-ışını analizini gerçekleştirmiştir. Aracın CheMin analizi feldspar, piroksenez, olivin gibi pek çok mineralin varlığını ortaya çıkarmış ve nümunedeki Mars toprağının Hawaii volkanlarından çıkan havayla temas etmiş bazaltik toprağa benzediğini ortaya koymuştur.

Erken Organik ve Küçük Biyolojik Moleküller

Penisilin yapısı [[Dorothy Crowfoot Hodgkin]] tarafından 1945 yılında ortaya konmuştur. Yeşil, beyaz, kırmızı, sarı ve mavi küreler sırasıyla karbon, hidrojen, oksijen, sülfür ve azot atomlarını temsil etmektedirler.

Miyoglobin yapısı için Ribbon diyagramı.

Hekzametilentetramin 1923’te yapısı ilk çözülen organik bileşik olmuştur. Bunu, biyolojik menranların önemli bir bölümünü oluşturan uzun-zincirli yağ asitleriyle ilgili çok sayıda çalışma takip etmiştir. 1930larda iki boyutlu karmaşıklığa sahip daha büyük moleküllerin yapısı çözülmeye başladı. Büyük, düzlemsel bir molekül olan ve biyolojik açıdan heme, korin, klorofil gibi öneme sahip porfirin molekülüyle yakın ilişkisi bulunan pitalosiyanin yapısının bulunması kayda değer bir gelişmedir.

Biyolojik moleküllerin X-ışını kristalografisi kolesterol (1937),  penisilin (1946) ve vitamin B12 (1956)’nin yapılarını bulan ve bu çalışmalarından dolayı 1964’te Nobel Kimya ödülünü kazanan Dorothy Crowfoot Hodgkin’le birlikte uçuşa geçmiştir. 1969’da üzerinde otuz yılı aşkın bir süredir çalıştığı insülinin yapısını bulmuştur.

Biyolojik Makromoleküler Kristalografi

Proteinlerin (düzensiz ve kolesterolden yüzlerce kez daha büyük olan) kristal yapıları, 1962’de Max Perutz ile Nobel Kimya ödülünü paylaşan Sir John Cowdery Kendrew’in ispermeçet balinası miyoglobininin, yapısını buldukları çalışmayla 1950’li yılların sonunda çözülmeye başlandı. Bu başarıdan sonra, 73761’den fazla nükleik asit ve diğer biyolojik molekülün X-ışını kristal yapısı tespit edilmiştir. Mukayese açısından şu söylenebilir: yapı analizi bağlamında en yeni ve iddialı metot 9561 yapıyı çözen nükleer manyetik rezonans (NMR) spektroskopisidir. Dahası, çözelti-halli NMR nispeten küçük (70 kDa’dan küçük) moleküllerle sınırlıyken, kristalografi rastgele büyüklükteki moleküllerin yapısını da çözebilmektedir. X-ışını kristalografisi bilim insanları tarafından farmakolojik bir ilacın hedef proteinle nasıl etkileştiğini anlamak ve hangi değişikliklerin ilacın etkisini artıracağına karar vermek için rutin olarak kullanılmaktadır. Bununla birlikte, membrana özgü proteinler kristalleşmeye karşı halen direnmektedirler çünkü izole olarak çözelti haline gelebilmeleri için deterjan ve benzeri çözücülerin içinde çözülmeleri gerekmektedir ve bu deterjanlar da genellikle kristalizasyonla girişim yapmakta ve onu bozmaktadır. Bu tür membran proteinleri genomun büyük bileşenidir ve iyon kanalları ve reseptörler gibi fizyolojik açıdan büyük öneme sahip birçok proteini aralarında bulundurmaktadırlar.

Esnek ve Esnek Olmayan Saçılmların Mukayesesi

X-ışını kristalografisi bir esnek saçılma olup gelen ve saçılan X-ışınları yön değiştirme dışında aynı enerjiye, dolayısıyla aynı dalga boyuna sahiptir. Buna mukabil, esnek olmayan saçılma gelen X-ışınlarının enerjisinden bir bölümünün kristale aktarılmasıyla, örneğin bir iç tabak elektronunun daha yüksek enerji seviyesine uyarılması durumunda oluşur. Bu şekilde esnek olmayan saçılmalar kristalden dışarı çıkan demetin enerjisinin azaltır (ya da dalga boyunu uzatır). Esnek olmayan saçılma, maddenin bu şekilde uyarılmasını incelemek için elverişli olsa da, X-ışını kristalografisinin amacı olan madde içinde saçıltıcıların dağılım ve dizilişlerini tespit etmeye uygun değildir.

Dalgaboyları 10 – 0.01 nanometre aralığında bulunan X-ışınları; kristalografide kulanılan tipik dalga boyu olan 1 Å (0.1 nm)^{[atıf gerekiyor]}, kovalent kimyasal bağların ve tek bir atomun yarıçapı mertebesindedir. Morötesi radyasyon gibi daha uzun dalga boylu fotonlar atomik pozisyonları tespit etmek için yeterli çözünürlüğü sağlamayacaktır. Beri taraftan ise gama ışınları gibi daha kısa dalga boylu fotonların kullanımı, çok sayıda üretiminin ve odaklanmasının zor olması, maddeyle etkileşiminin çok güçlü olması ve madde-anti madde çiftleri oluşturması gibi nedenlerle uygun değildir. Bu nedenle X-ışınları elektromanyetik saçılma yoluyla atomik çözünürlükte yapı belirleme söz konusu olduğunda en makul seçimdir.

Diğer X-ray Teknikleri

Saçılan elastik x-ışınların diğer şekilleri toz difraksiyonunu, SAXS ve X-ışını fiber difraksiyonunun birkaç türünü içerir ki bu da Rosalind Franklin tarafından DNA’nın çift-heliks yapısının tespitinde kullanılmıştır. Genel olarak, tek-kristal X-ışını difraksiyonu bu diğer tekniklerden daha fazla yapısal bilgi sunar; ancak, bu her zaman elde mevcut olmayan yeterli miktarda geniş ve düzenli kristal gerektirir.

Bu saçılma metotları genellikle monokromatik X-ışınlarını kullanır; bunlar da küçük sapmaları olan tek dalga uzunluğuyla kısıtlıdırlar. X-ışınlarının geniş tayfı (diğer bir deyişle; farklı dalga boyları olan x-ışınlarının karışımı) Laue metodu tekniği olarak bilinen X-ışını difraksiyonunu gerçekleştirmek için de kullanılabilir. Bu X-ışını difraksiyonunun ilk keşfinde kullanılmış bir metottur.

Saçılan Laue, X-ışını dalgasına sadece kısa bir süre maruz kalmayla çok yapısal bilgi sağlar ve bu nedenle, çok hızlı olayların (Zaman çözümlü kristallografi) yapısal çalışmalarında kullanılır. Ancak, bir kristalin tam atomik yapısının tespiti için saçılan monokromatik kadar iyi uyumlu değildir ve bu yüzden nispeten basit atomik düzenlemeler içeren kristallerle daha iyi sonuç verir. Laue geri yansıma modu geniş tayf kaynağından geriye doğru saçılmış X-ışınlarını kaydeder. Bu numunenin içinden X-ışının geçip yayılamayacak kadar kalın olması halinde faydalıdır. Kristaldeki kırıcı düzlemler, kırıcı düzleme normal gelen olay anı ışını ve kırıcı düzlem arasında açıyı ikiye böldüğü bilinerek tespit edilir. Greninger şeması Laue fotoğraf geri yansımasını yorumlamak için kullanılabilir.

Elektron ve Nötron Kırılması

Elektron ve nötron gibi diğer partiküller kırılma modeli üretmek için kullanılabilir. Elektron, nötron ve saçılan X-ışını farklı fiziksel işlemlere dayalı olsa da, ortaya çıkan kırılıp saçılma modelleri aynı uyumlu difraksiyon görüntüleme tekniklerini kullanarak analiz edilebilir.

Aşağıda çıkarımda bulunulduğu gibi, kristal içindeki elektron yoğunluğu ve difraksiyon modelleri basit bir matematiksel metotla, Fourier dönüşümü, ilişkilendirilir; bu da yoğunluğun modellerden nispeten kolay hesaplanmasına izin verir. Ancak, bu saçılmanın zayıf olması durumunda; yani, saçılmış ışınların gelen ışından çok daha az yoğun olduğunda gerçekleşir. Zayıfça dağılmış ışınlar ikinci kez dağılma olayına girmeksizin kristal kalıntısının içinden geçer. Bu tür tekrar saçılmış dalgalara “ikincil saçılma” denir ve analizi zorlaştırır. Herhangi bir yeterince kalın kristal ikincil saçılmayı üretir, fakat X-ışınlarının elektronlarla kendi aralarında nispeten zayıfça etkileşmesinden dolayı, bu genel olarak önemli bir ilgi alanı değildir. Aksine, elektron ışınları hatta nispeten ince kristaller için (>100 nm) bile kuvvetli ikincil saçılmayı üretebilir. Bu kalınlık birçok virüsün çapına denk geldiği için, gelişen yön viral kapsids ve moleküler makineler gibi tecrit edilmiş makromoleküler birleşimlerin elektron difraksiyonudur ki bu da kiroelektron mikroskopu ile gerçekleştirilebilir. Ayrıca, elektronların madde ile birbirleri arasında kuvvetli etkileşimi (X-ışınlarına göre yaklaşık 1000 kat daha kuvvetlidir) oldukça küçük hacimlerdeki atomik yapının tespitine izin verir. Elektron kristalografisi için uygulamalar alanı organik ince filmler üzerindeki zar proteinleri gibi biyo moleküllerden (nanokristalin) kendi aralarında metalik bileşikler ve zeolitlerin kompleks yapılarına kadar bir alanı kapsar.

Nötron difraksiyonu, yeterli miktarlarda nötronun yoğun, monokromatik ışınlarının elde edilmesi zor olmasına rağmen, yapı tespiti için mükemmel bir metottur. Yeni Spallasyon Nötron Kaynağı gelecek için ümit vadetse de, geleneksel olarak nükleer reaktörler kullanılmıştır. Sarj edilmediği için, nötronlar elektronlara göre atomik çekirdekten daha fazla saçılılar. Bu yüzden, saçılan nötron X-ray difraksiyonunda temel olarak gözlenemeyen, özellikle hidrojen gibi çok az sayıda elektronlu hafif atomların pozisyonlarını gözlemlemek için çok faydalıdır. Nötron saçılması çok belirgin özelliğe sahiptir ki normal su H2O ve ağır su D20 oranlarının ayarlanmasıyla çözücü görünmez yapılabilir.

Sinkrotron radyasyonu

Sinkrotron radyasyonu, yeryüzündeki en parlak ışıklardan biridir. X-ray kristalografçılarının elde edebildiği en güçlü tek vasıtadır. Sinkrortron adı verilen büyük makinelerde üretilen X-ışınlarından yapılır. Bu makineler elektriksel olarak şarj edilmiş partiküller, genellikle elektronları, neredeyse ışık hızına kadar hızlandırır, daha sonra onlara büyük içi boş metal bir halkanın etrafından kamçılar.

Sinkrotronlar ilk olarak kozmik olguları ve alt-atomik partikülleri inceleyen yüksek enerji fizikçileri için dizayn edilmiştir. Her bir sinktrotronun en büyük parçası onun elekktron depolama halkasıdır. Bu halka aslında mükemmel bir daire değildir, fakat çok yönlü bir poligondur. Poligonun her bir köşesinde yeri aynı hizada kesin olarak belirlenmiş mıknatıslar elektron akımını onu halkanın içinde kalmaya zorlayarak bükerler. Her defasında, elektronların yolu bükülür ve elektromanyetik radyasyon şeklinde enerji patlaması yayarlar. Sinkrotron içindeki partiküller neredeyse ışık hızında hareket edip hızlıca düştükleri için, yüksek enerjili X-ışınları içeren yoğun radyasyon yayarlar.

Tek-kristal X-ışını Kırınımına Genel Bakış

X ışını kristalografisi için iş akışı diyagramı.

X-ışını kristalografisinin en eski ve en kesin yöntemi, bir X-ışını huzmesinin tek bir kristale çarparak dağılmış huzmeler ürettiği tek-kristal X-ışını kırınımıdır. Bu huzmeler bir film parçası ya da başka bir dedektörün üzerine ulaştığında noktalardan oluşan bir kırınım örüntüsü oluştururlar; kristal kademeli olarak döndürüldükçe bu huzmelerin kuvvetleri ve açıları kaydedilir. Her noktaya bir yansıma denir, çünkü her nokta kristalin içinde eşit aralıklarla bulunan bir düzlem kümesinden gelen X-ışını yansımasına karşılık gelir. Yeterli saflık ve düzenlilikteki tek kristaller için, X-ışını kırımı verileri ortalama kimyasal bağ uzunluk ve açılarını sırasıyla bir angstromun birkaç binde biri ve bir derecenin birkaç onda biri içerisi kesinlikte belirleyebilir. Bir kristalin içindeki atomlar statik değildir; fakat ortalama pozisyonları civarında genellikle bir angstromun onda birinden az miktarda salınım yaparlar. X-ışını kristalografisi bu salınımın boyutunu da ölçmeye imkân sağlar.

Prosedür

Tek-kristal X-ışını kristalografisinin üç temel adımı vardır. Birinci ve çoğunlukla en güç adım incelenecek materyalin yeterli bir kristalini elde etmektir. Kristal yeterince büyük (tüm boyutları 0.1mm den büyük), kompozisyonu saf ve yapısı düzenli olmalı, çatlama ya da ikizlenme gibi iç kusurları bulunmamalıdır.

İkinci adımda kristal düzgün yansıma paterni üreten, genellikle tek bir dalga boyundaki (monokromatik X-ışını) yoğun bir X-ışını huzmesine yerleştirilir. Kristal kademeli olarak döndürülürken önceki yansımalar kaybolur ve yenileri görünür; kristalin her yöneliminde her noktanın yoğunluğu kaydedilir. Her set kristalin tam dönüşünün yarısından biraz fazlasını kapsayacak ve tipik olarak on binlerce yansımayı içerecek şekilde çoklu veri setlerinin toplanması gerekebilir.

Üçüncü adımda, kristalin içindeki atomların dizilişinin bir modelini üretmek ve geliştirmek için bu veriler tamamlayıcı kimyasal bilgilerle sayısal olarak birleştirilir. Atom dizilişinin en son geliştirilmiş hali (şimdi buna kristal yapısı denir) genellikle herkese açık bir veri tabanında saklanır.

Sınırlamalar

Kristalin tekrarlayan birimi, birim gözesi daha büyük ve daha karmaşık olduğunda, belirli bir sayıdaki gözlemlenmiş yansıma için X-ışını kristalografisinin sağladığı atom-seviyesi resmi daha düşük çözünürlükte (daha "bulanık") olur. X-ışını kristalografisinin iki sınırlayıcı durumu -"küçük molekül" ve "makromoleküler" kristalografi- sıkça ayırt edilmiştir. Küçük molekül kristalografisi tipik olarak asimetrik biriminde 100'den az atom içeren kristalleri içerir; bu kristal yapıları genellikle öyle iyi çözünürlüktedir ki atomlar elektron yoğunluğu içinde yalıtılmış "damla" halinde ayırt edilebilir. Bunun aksine, makromoleküler kristalografi çoğunlukla birim gözede on binlerce atom içerir. Bu tür kristal yapıları genellikle daha düşük çözünürlükte (daha "bulaşmış") olur; atomlar ve kimyasal bağlar yalıtılmış atomlardan çok elektron yoğunluğu tüpleri halinde görünür. Genelde, küçük moleküller makromoleküllerden daha kolay kristalize olur; bununla birlikte X-ışını kristalografisinin yüz binlerce atomu olan virüsler için bile mümkün olduğu kanıtlanmıştır.

Kristalleştirme

Kristalografinin saf olmayan ya da düzensiz bir kristaldeki bozukluğu tanımlamada kullanılabilmesine rağmen, kristalografi atomların karmaşık bir dizisinin yapısını çözmek için genellikle yüksek düzenlilikte bir kristal gerektirir. Saf, düzenli kristaller bazen metal, mineral ve başka makroskopik materyal örnekleri gibi doğal ya da sentetik malzemelerden elde edilebilir. Bu tür kristallerin düzenliliği bazen makromoleküler tavlama ve diğer yöntemlerle iyileştirilebilir. Bununla birlikte, pek çok durumda, kırınımı-kaliteli bir kristal temini onun atomik-çözünüm yapısını çözmede en büyük engeldir.

Küçük-molekül ve makromoleküler kristalografi kırınımı-kaliteli kristaller üretmede kullanılması mümkün teknikler çeşitliliğinde farklılık gösterirler. Küçük moleküller genellikle birkaç derecelik konformasyon serbestliğine sahiptirler ve kimyasal buhar tortulaşması ve yeniden kristalleştirme gibi geniş bir dizi yöntemle kristalleştirilebilirler. Bunun aksine, mKromoleküller genellikle çok sayıda serbestlik derecesine sahiptirler ve bunların kristalleşmesi sabit bir yapıyı sürdürecek şekilde yürütülmelidir. Örneğin proteinler ve daha büyük RNA molekülleri üçüncül yapıları açılmadıkça kristalleştirilemez, bundan dolayı kristalleşme koşulları çeşitliliği moleküllerin içinde katlanmış halde bulunduğu solüsyon koşulları ile sınırlıdır.

Three methods of preparing crystals, A: Hanging drop. B: Sitting drop. C: Microdialysis

Protein kristalleri hemen hemen daima solüsyonda büyütülür. En yaygın yaklaşım moleküllerinin erirliğini kademeli olarak azaltmaktır; eğer bu çok hızlı yapılırsa moleküller solüsyonda çökelir, kabın dibinde yararsız bir toz ya da amorf bir jel oluşturur. Solüsyonda kristal büyütme iki adımla karakterize edilir: mikroskobik bir kristalitin (muhtemelen yalnızca 100 molekülü olan) çekirdeklenmesi, ardından bu kristalitin idealde kırınım kalitesinde bir kristale dönüşerek büyümesi. Birinci adıma (çekirdeklenme) uygun olan solüsyon koşulları her zaman ikinci adıma (sonraki büyüme) uygun koşullarla aynı olmaz. Kristalografiyi yapanın amacı tek bir büyük kristalin gelişimine uygun solüsyon koşullarını belirlemektir, çünkü büyük kristaller molekülün daha iyi çözünürlüğünü sunar. Sonuç olarak, solüsyon birinci adıma (çekirdekleşme) değil ikinci adıma (büyütme) uygun olmalıdır, böylece her damlacık başına bir büyük kristal oluşur. Eğer çekirdekleşme koşulları çok fazla uygun olursa damlacıkta bir büyük kristal yerine bir yığın küçük kristalit oluşacaktır; eğer çok az uygun olursa herhangi bir kristal oluşmaz.

Çekirdekleşme ya da düzenli kristaller büyütme için iyi koşulları kestirmek son derece zordur. Uygulamada, istenilen koşullar eleme ile belirlenir; çok geniş bir molekül yığını hazırlanır ve geniş bir kristalleştirme solüsyonu çeşitliliği test edilir. Başarılı olanı bulana kadar genellikle yüzlerce, hatta binlerce solüsyon koşulu test edilir. Çeşitli koşullar molekülün erirliğini azaltacak bir ya da daha fazla fiziksel mekanizmayı kullanabilir; örneğin bazıları pH'ı değiştirebilir, bazıları Hofmeister serilerinin tuzlarını ya da solüsyonun dielektrik sabitini azalyan kimyasalları içerebilir ve bazıları da hala molekülü entropik etkilerle solüsyonun dışına çıkaran polietilen glikol gibi büyük polimerler içerir. Ayrıca, kristalleşmeyi destekleyen farklı ısıları denemek ya da solüsyonu aşırı doymuş hale getirmek için ısıyı kademeli olarak düşürmek de yaygındır. Bu yöntemler kristalleştirmede yüksek molekül konsantrayonları kullandıklarından hedef moleküllerden büyük miktarlarda gerektirirler. Böyle büyük miktarlarda (miligramlar) kristalleştirme seviyesinde protein elde edilmesindeki zorluğa bağlı olarak 100 nanolitre hacimde kesin kristalleştirme deneme damlaları verebilen robotlar geliştirilmiştir. Bu, deney başına ell yapılan kristalleştirme denemelerinden (1 mikrolitre) 10 kat daha az protein kullanılması demektir.

Kristalleşmeyi engelleyen ya da bozan çeşitli faktörler bilinmektedir. Büyüyen kristaller genellikle sabit bir ısıda tutulur ve kristalleşmelerini bozabilecek şok ya da vibrasyonlardan korunur. Moleküllerin ya da kristalleşme solüsyonlarının saf olmaması çoğu kez kristalleşmeye engel olur. Moleküldeki konformasyon esnekliği entropiye bağlı olarak kristalleşme ihtimalini azaltır. Ne gariptir ki, kendi kendilerine sarmal halinde birleşmeye eğilimli olan moleküller çoğu kez kristal olarak birleşme eğilimi göstermez. Kristaller ikizlenme tarafından tarafından da bozulabilir; ikizlenme bir birim gözesinin eşit biçimde çoklu yönlere yoğunlaşmasıyla oluşur; fakat hesaplama yöntemlerindeki son ilerlemeler bazı ikizlenmiş kristallerin yapılarını çözmeyi sağlayabilir. Hedef molekülü kristalleştirmede başarısızlığa uğrayan bir kristalografi uygulayıcısı molekülün hafifçe değiştirilmiş bir versiyonuyla yeniden deneyebilir; moleküler özelliklerde küçük değişiklikler bile kristalleşme davranışında büyük farklılıklara yol açabilir.

Kristalin Yerleştirilmesi

Animation showing the five motions possible with a four-circle kappa goniometer. The rotations about each of the four angles φ, κ, ω and 2θ leave the crystal within the X-ray beam, but change the crystal orientation. The detector (red box) can be slid closer or further away from the crystal, allowing higher resolution data to be taken (if closer) or better discernment of the Bragg peaks (if further away).

Kristal ölçümler için X-ışını içinde tutulabilecek ve döndürülebilecek şekilde yerleştirilir. Yerleştirmenin çeşitli yöntemleri vardır. Geçmişte, kristaller kristalleştirme solüsyonuyla birlikte kılcal cam borulara konulurdu. Günümüzde, küçük moleküllü kristaller genellikle naylon ya da plastik bir lupa ya da cam elyafına yağ ya da zamkla tutturulur ve sert bir çubuğa iliştirilir. Protein kristalleri ise lupun üzerine alınır ve sıvı nitrojenle aniden dondurulur. Bu dondurma işlemi X-ışınlarının radyasyon hasarını ve Bragg piklerinin termal harekete bağlı gürültüsünü (Debye-Waller etkisi) azaltır. Bununla birlikte, işlem görmemiş protein kristalleri aniden dondurulursa çoğunlukla çatlar; bu nedenle dondurmadan önce donmadan koruyucu bir solüsyonda ıslatılırlar. Ne yazık ki, bu ıslatmada kristali çatlatabilir ve kristalografi açısından harap edebilir. Genelde, başarılı dondurma koşulları deneme-yanılma ile belirlenir.

Kılcal boru ya da lup, X-ışını içinde tam yerinde durmasını ve döndürülmesini sağlayan bir gönyemetreye monte edilir. Hem kristal hem de ışın huzmesi çok küçük olduğundan kristal huzmenin merkezine yaklaşık 25 mikrometre içinde bir kesinlikte yerleştirilmelidir, kristale odaklanmış bir kamera buna yardımcı olur. En yaygın gönyemetre tipi "kappa gönyemetresi"dir; üç dönüş açısı sunar:  ω açısı, huzmeye dikey bir eksende döner; κ açısı ω eksenine ~50 derecelik bir eksende döner; φ açısı lup/kılcal boru ekseninde döner. κ açısı sıfır olduğunda ω ve φ eksenleri aynı hizadadır. κ nin dönüşü kristalin montajı için uygunluk sağlar, çünkü kristalin monte edildiği kol kristalografi uygulayıcısına doğru dönebilir. Veri toplama sırasında gerçekleşen salınımlar yalnızca ω eksenini içerir. Daha eski tip gönyemetreler dört çemberli gönyemetre ve bunun altı çemberli gönyemetre gibi akrabalarıdır.

X-ışını Kaynakları

A diffractometer

Monte edilmiş kristal daha sonra bir monokromatik X-ışını huzmesine maruz bırakılır. En parlak ve en kullanışlı X-ışını kaynakları senkrotronlardır; yüksek parlaklıkları daha iyi çözünürlük sağlar. Ayrıca ışımanın dalga boyunu ayarlamaya elverişlidir; bu da aşağıda tanımlanan çoklu-dalgaboyu düzensiz saçılım (MAD) evrelemesi için yararlıdır. Senkrotronlar genellikle ulusal tesislerdir; belirlenmiş huzmeleri vardır ve haftada yedi gün tüm gün boyunca veri toplarlar.

Daha küçük X-ışını üreteçleri genellikle laboratuvarlarda senkrotrona getirilmeden önce kristallerin kalitesini ölçmede ve bazen bir kristalin yapısını çözmede kullanılır. Bu tür sistemlerde elektronlar bir katottan kaynatılarak çıkartılır ve ~50 kV'lik güçlü bir elektrik potansiyeli yoluyla hızlandırılır; yüksek hıza çıkınca elektronlar bir metal plakaya çarparak bremmstrahlung ve metalin elektronlarının iç kabuğunun uyarımına denk gelen bazı güçlü görüngesel çizgiler yayarlar. En yaygın kullanılan metal, yüksek termal iletkenliğinden dolayı kolayca soğuk tutulan ve güçlü Ka ve Kb çizgileri üreten bakırdır. Kb çizgisi bazen ince (~10 mikrometre) bir nikel folyoyla baskılanır. Kapalı X-ışını tüpünün en basit ve ucuz çeşidinin sabit bir anodu (Crookes tüpü) vardır ve ~2 kW elektron ışını gücüyle çalışır. Daha pahalı çeşidinin döner anod tipi kaynağı ~14 kW elektron ışını gücüyle çalışır.

X-ışınları genellikle (X-ışını filtreleriyle) tek dalgaboyuna filtrelenir (monokromatik yapılır) ve kristale çarptırılmadan önce tek bir yöne doğru hizalanır. Filtreleme yalnızca veri analizini basiyleştirmekle kalmaz, aynı zamanda faydalı bilgilere katkıda bulunmadan kristali ayrıştıran radyasyonu da giderir. Hizalama ya bir hizalayıcı (temel olarak uzun bir tüp) hafifçe kıvrımlı aynaların akıllıca yerleştirilmesiyle yapılır. Ayna sistemleri küçük kristaller (0.3 mm altı) ya da büyük birim gözeleri (150 angstrom üzeri) için tercih edilir.

Yansımaların Kaydedilmesi

An X-ray diffraction pattern of a crystallized enzyme. The pattern of spots (reflections) and the relative strength of each spot (intensities) can be used to determine the structure of the enzyme.

Bir kristal monte edildiğinde ve yoğun bir X-ışını huzmesine maruz bırakıldığında, X-ışınlarını kristalin arkasındaki perdede görülebilen noktalar paterni ya da yansımalar halinde dağıtır. Benzer bir patern bir kompakt diske lazer pointer tutulduğunda görülür. Bu noktaların göreceli yoğunluğu kristalin içindeki molekül dizilişini atomik düzeyde belirlemek için bilgi sağlar. Bu yansımaların yoğunluğu fotoğraf filmi, alan dedektörü ya da ışığa hassas (CDD) imaj sensörü ile kaydedilebilir. Küçük açılı pikler düşük çözünürlüklü verileri, büyük açılı pikler yüksek çözünürlüklü verileri gösterir; böylece yapının nihai çözünürlük limiti ilk birkaç görüntüden anlaşılabilir. Pik genişliklerinde gözlemlenen kristal mozaikliği ve kristalin genel bozukluğu gibi kırınım kalite durumu bu noktada belirlenebilir. Yapının çözülmesi için kristalin uygun olmadığını gösteren bazı patolojileri de bu noktada çabucak teşhis edilebilir.

Tüm kristali yeniden yapılandırmak için noktaların tek görüntüsü yeterli olmaz; bu yalnızca tam Fourier dönüşümünün küçük bir dilimidir. Gereken tüm bilgiyi toplamak için kristal adım adım 180 derece döndürülmeli, her adımda görüntü alınmalıdır; aslında Ewald küresindeki eğriliğe bağlı olarak ters uzayı kapsamak için kristalin 180 dereceden biraz daha fazla döndürülmesi gerekir. Bununla birlikte, eğer kristal yüksek simetriye sahipse, 90 ya da 45 derece gibi daha küçük açılarda kayıt yapılabilir. Dönme eksenine hakın ters uzayda " kör nokta" oluşturmaktan kaçınmak için dönme ekseni en az bir kez değiştirilmelidir. Ters uzayın daha geniş bir alanını kapsamak için kristali hafifçe (0.5-2 derece) sarsmak yaygın bir uygulamadır.

Belirli evreleme yöntemleri için çoklu veri seyleri gerekebilir. Örneğin MAD evrelemesi dağılımın gelen X-ışını ışımasının en az üç (genellikle yedekleme için dört) dalgaboyunda kaydedilmesini gerektirir. Tek bir kristal radyasyon hasarına bağlı olarak bir veri setinin toplanması sırasında çok fazla aşınabilir; bu durumlarda çoklu kristallerden veri setleri alınmalıdır.

Kristal Eşbakışımı (Simetrisi), Birim Gözesi ve Görüntü Ölçeklendirimi

Her biri farklı bir kristal yönlenmesiyle örtüşen iki boyutlu kırınım paternlerinin kaydedilmiş serileri, üç boyutlu bir elektron yoğunluğu modeline dönüştürülür; dönüştürme aşağıda açıklanan Fourier dönüşümü matematikselmtekniğini kullanır. Her nokta, elektron yoğunluğunda farklı tipte bir değişkene karşılık gelir; kristalografi uygulayıcısı hangi değişkenin hangi noktayla örtüştüğünü (indeksleme), farklı görüntülerdeki noktaların göreceli kuvvetlerini (birleştirme ve ölçeklendirme) ve toplam elektron yoğunluğunu vermek için değişkenlerin nasıl birleştirileceğini (evreleme) belirlemek zorundadır.

Verilerin işlenmesi yansımaların indekslenmesiyle başlar. Bu, birim gözenin boyutlarını ve hangi görüntü pikinin ters uzayda hangi pozisyonla örtüştüğünü belirlemek demektir. İndekslemenşn bir yan ürünü krisyalin simetrisini, yani uzay grubunu saptamaktır. Bazı uzay grupları başlangıçta elimine edilebilir. Örneğin, yansıma simetrileri kiral moleküllerde gözlenemez, bu yüzden hemen hemen her zaman kiral olan protein molekülleri için mümkün olan 230 uzay grubundan yalnızca 65 tanesi mümkün görülür. İndeksleme genellikle bir otoindeksleme rutiniyle yapılır. Simetri belirlendikten sonra veriler bütünleştirilir. Bu, binlerce yansımayı içeren yüzlerce görüntüyü tek bir dosyaya dönüştürür. Bu dosya (en azından) her yansımanın Miller indeksi kayıtlarını ve her yansıma için yoğunluğunu içerir (bu durumda dosya genellikle hata tahminlerini ve kısmilik ölçümlerini (o görüntüde hangi belirli yansımanın kaydedildiğini içerir).

Tam bir veri seti, kristalin farklı yönlenmelerinde alınmış ayrı ayrı yüzlerce görüntüden oluşabilir. İlk adım bu çeşitli görüntüleri birleştirmek ve ölçeklendirmektir; yani hangi piklerin iki ya da daha fazla görüntüde göründüğü (birleştirme) ve göreceli görüntüleri tutarlı bir yoğunluk ölçeği olacak şekilde ölçeklendirmektir. Yoğunluk ölçeğini optimize etmek önemlidir, çünkü piklerin göreceli yoğunluğu yapının saptanmasında anahtar bilgidir. Kristalografik veri toplamanın tekrar eden tekniği ve kristalli malzemenin çoklukla yüksek simetriye sahip olması kırınımölçerin birçok kere çok sayıda eşit simetrili  yansımalar kaydetmesine neden olur. Bu simetriyle ilişkili R-faktörünün hesaplanmasına izin verir; bu güvenilirlik indeksi, simetrisi eşit yansımaların ölçüm yoğunluklarının ne kadar benzer olduğuna dayanır, bu nedenle de verilerin kalitesini değerlendirir.

Başlangıç Evrelemesi

Bir kırınım deneyinde elde edilen veriler kristal örgüsünün bir ters uzay gösterimidir. Her kırınım 'noktasının' pozisyonu birim gözenin büyüklüğü, şekli ve kristaldeki kalıtsal simetri tarafından belirlenir. Her kırınım 'noktasının' yoğunluğu kaydedilir ve bu yoğunluk yapı faktör genişliğinin karesiyle orantılıdır. Yapı faktörü, bir dalganın genişliği ve evresiyle ilintili bilgileri içeren karmaşık bir sayıdır. Yorumlanabilir bir elektron yoğunluğu haritası elde etmek için hem genişlik hem de evre bilinmelidir (bir elektron yoğunluğu haritası bir kristalografi uygulayıcısının molekülün başlangıç modelini yapmasını sağlar). Evre bir kırınım deneyi sırasında doğrudan kaydedilemez. Başlangıç evresi tahminleri çeşitli yollarla elde edilebilir:

• Başlangıçtan beri evreleme ya da direkt yöntem - Bu genellikle küçük moleküller

(<1000 non-hidrojen atomu) için tercih edilen yöntemdir ve küçük proteinler için evre problemlerini başarıyla çözmek için kullanılmıştır. Eğer verilerin çözünürlüğü 1,4 angstromdan (140 pm) daha iyiyse belirli yansıma grupları arasındaki bilinen ilişkilerden yararlanılarak evre bilgisini elde etmek için direkt yöntemler kullanılabilir.

• Moleküler yer değiştirme - eğer ilişkili yapı biliniyorsa, birim gözedeki

moleküllerin yönünü ve pozisyonunu saptamak için moleküler yer değiştirme de bir araştırma modeli olarak kullanılabilir. Bu yolla elde edilen evreler elektron yoğunluk haritaları üretmede kullanılanılabilir.

• Düzensiz X-ışını dağılımı (MAD ya da SAD evrelemesi) - X-ışını dalgaboyu, dağılımı

bilinen bir şekilde değiştiren bir atomun emici kenarından geçirilebilir. Üç farklı dalgaboyundaki tam yansıma setlerini kaydederek (emici kenarın en altında, en üstünde ve ortasında) düzensiz kırınım yapan atomların altyapılarını ve böylece tüm molekülün yapısını çözümler.  Düzensiz dağılan atomları proteinlerle birleştirmenin en popüler yöntemi proteini selenyum atomları içeren seleno-metyonin yönünden zengin bir ortamda bir metyonin okstrofuna (metyonini sentezleyemeyen bir taşıyıcı) sıkıştırmaktır. Sonra da emici kenarda bir MAD deneyi uygulanabilir ve sonucunda proteinde kalan metyoninin kalıntılarının pozisyonu başlangıç evresini verir.

• Ağır atom yöntemleri (çoklu izomorf yer değişimi) - Eğer elektron-yoğun metal

atomları kristalin içine sokulabilirse, direkt yöntemler ya da Patterson-uzay yöntemleri bunların yerini belirlemek ve başlangıç evrelerini elde etmek için kullanılabilir. Böylesi ağır atomlar, kristali ağır atom içeren solüsyonlarda ıslatarak ya da eş-kristalleşme (kristali ağır atomların bulunduğu ortamda büyütme) yoluyla kristale sokulabilir. MAD evrelemesinde olduğu gibi dağılım genişliğindeki değişiklikler evreleri verecek şekilde yorumlanabilir. Bu yöntem, protein kristal yapılarının çözümlendiği orijinal yöntem olmasına karşın, seleno-metyoninli MAD evrelemesi onun yerini almıştır.

Model Yapımı ve Evre Geliştirimi

Başlangıç evreleri elde edilince bir başlangıç modeli yapılabilir. Bu model evreleri geliştirmekte kullanılabilir, bu da daha gelişmiş bir modeli sonuç verir ve böylece sürer gider. Bazı atomik pozisyonların modeli verildiğinde, bu pozisyonlar ve onların sıralı Debye-Waller faktörleri (ya da B-faktörleri, atomun termal hareketini açıklayan) geliştirilerek gözlenmiş kırınım verilerine uygun hale getirilebilir, daha iyi bir evreler seti ortaya çıkarılabilir. Sonra yeni bir model yeni elektron yoğunluğu haritasına uygun olabilir ve daha ileri bir geliştirme turu yürütülebilir. Bu, kırınım verileri ve model arasındaki korelasyon maksimize edilene kadar sürer. Uyum aşağıda gösterilen R-faktörüyle ölçülür:

$R={\frac {\sum _{\mathrm {all\ reflections} }\left|F_{o}-F_{c}\right|}{\sum _{\mathrm {all\ reflections} }\left|F_{o}\right|}}$

Burada F yapı faktörüdür. Benzer bir kalite kriteri de R free'dir ve yapı geliştirmeye dahil edilmeyen bir yansımalar alt kümesinden (~%10) hesaplanır. Her iki R faktörü de verilerin çözümlenmesine dayanır. Pratikte R free yaklaşık olarak angstrom birimi çözünürlüğün 10'a bölünmesidir, böylece 2 angstrom çözünürlükte bir veri seti sonuçta R free değerini ~0,2 olarak verir. Stereokimya, hidrojen bağlama ve bağ uzunlukları ve açılarının dağılımı gibi kimyasal bağ özellikleri model kalitesinin tamamlayıcı ölçümleridir. Evre meyli böylesi yinelen model yapımında ciddi bir sorundur. İptal haritaları bunu denetlemek için yaygın bir tekniktir.

Kristalleşen molekülün her atomunu gözlemek mümkün olmayabilir - unutulmamalı ki sonuçta ortaya çıkan elektron yoğunluğu kristaldeki tüm moleküllerin bir ortalamasıdır. Bazı durumlarda bu atomlarda çok fazla kalıntı bozukluğu vardır ve birçok konformasyonda bulunan atomların elektron yoğunluğu çok bulaşık görüntü verdiğinden elektron yoğunluğu haritasında görülemezler. Hidrojen gibi dağılımı zayıf atomlar rutin olarak görünmezdir. Bir tek atom için bir elektron yoğunluk haritasında çok kez görünmek de mümkündür; örneğin, eğer bir protein yan zinciri çoklu (<4) mümkün konformasyona sahipse. Diğer durumlarda hala bir kristalografi uygulayıcısı molekül için çıkartılan kovalent yapının yanlış ya da değişmiş olduğunu saptayabilir. Örneğin, proteinler kristalleşme öncesinde belirlenememiş şekilde yarılmış ya da öteleme sonrası değişime uğramış olabilirler.

Yapı Bilgilerinin Toplanması

Bir molekülün yapısının modeli sonuçlandırıldığında bu bilgi genellikle bir kristallografik data bankasında biriktirilir; Cambridge Yapısal Data Bankası (küçük moleküller için), İnorganik Kristal Yapı Data Bankası (ICSD)(inorganik bileşimler için) veya Protein Data Bank (protein yapıları için) gibi. İlaçla ilgili proteinlerin kristalize edilmesine ilişkin özel ticari gelişimlerde elde edilen çoğu yapılar bu data banklarda toplanmazlar.

Dağılım Kuramı (Teorisi)

X-ışını kristalografisinin ana hedefi kristal içindeki elektron f(r) yoğunluğunu belirlemektir, burada r kristal içindeki üç boyutlu pozisyon vektörünü temsil eder. Bunu yapmak için Fourier dönüşümü hakkındaki F(q) bilgileri toplamada X-ışını saçılması kullanılır ki bu da gerçek uzayda tanımlanan yoğunluğu elde etmek için matematiksel olarak tersi alınmış olan aşağıdaki denklem kullanılarak hesaplanır.

$f(\mathbf {r} )={\frac {1}{\left(2\pi \right)^{3}}}\int F(\mathbf {q} )e^{\mathrm {i} \mathbf {q} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {d} \mathbf {q}$

Burada tümlev (integral) q’nun tüm değerleri üzerinden alınır. Üç boyutlu düzlemdeki gerçek yöney (vektör) q iki taraflı bir uzayda bir noktayı temsil eder, yani elektron yoğunluğundaki belirli bir salınım q noktasının işaret ettiği yönde hareket eder. Q uzunluğu 2π bölü salınım dalga boyuna denk gelir. Bir Fourier dönüşümü için karşılık gelen denklem aşağıdaki gibidir.

$F(\mathbf {q} )=\int f(\mathbf {r} )\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \mathbf {q} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {d} \mathbf {r}$

Burada tümlev kristalin içindeki r yöneyinin tüm olası değerleri üzerinden toplanır. Fourier dönüşümü F(q) genel olarak bir karmaşık sayıdır ve bu nedenle aşağıdaki denkleme ilişkili olarak |F(q)| değerine ve bir φ(q) faza sahiptir.

$F(\mathbf {q} )=\left|F(\mathbf {q} )\right|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi (\mathbf {q} )}$

X-ışınının dağılımında gözlenen yansıma yoğunlukları bize |F(q)­| değerini verir fakat φ(q) fazını vermez. Fazları elde etmek için, yansımaların tam setleri saçılımın bilinen tüm alternatif yollarla toplanır; dalga boyunu belli bir emme sınırı ötesinde modüle ederek veya cıva gibi güçlü saçılımı olan (yoğun elektronlu) metal atomlar ilave ederek. Büyüklük ve fazların birleşimi tam Fourier dönüşümü F(q)’yu verir bu da elektron yoğunluğu f(r)’yi elde etmek için tersine çevrilerek kullanılabilir.

Kristaller genellikle mükemmel bir şekilde yayılımla idealize edilmişlerdir. Bu ideal durumda atomlar mükemmel bir kafes üzerine konumlandırılmıştır, elektron yoğunluğu mükemmel şekilde dağıtılmış ve Fourier dönüşümü F(q)’nun değeri q’nun karşıt kafeste olması hariç sıfırdır. Ancak gerçekte, kristaller mükemmel düzenli değillerdir; atomlar ortalama konumları çevresinde titreşirler ve mozaiklikler, çıkıklar, çeşitli nokta kusurları ve kristalize moleküllerin şekillerinde heterojenite gibi çeşitli bozukluklar olabilir. Bu nedenle, Bragg uç noktaları sonlu bir genişliğe sahiptir ve önemli bir yaygın saçılım Bragg uç noktaları arasında kalan dağınık X-ışınlarının sürekliliği olabilir.

Bragg Kanununun Sezgisel Anlayışı

X-ışını dağılımının sezgisel bir anlayışı Bragg’ın dağılım modelinden elde edilebilir. Bu modelde, verilen bir yansıma genellikle kristalin içinden geçen eşit aralıklı levhaların kristal kafesinin atomlarının ortasından geçmesiyle ilişkilendirilir. Belirli bir set tabakaların uyumu Millerin üç indisleriyle (h,k,l) ve aralarındaki mesafe d ile belirtilir. William Lawrence Bragg gelen X-ışınları her düzleminden (ayna gibi) birbirine göre dağınık olduğu bir model önerdi; bu varsayımla, düzlem ile X-ışınları arasındaki θ açısı X-ışınının dalga boyu λ’nın n tam sayı çarpımının yol uzunluğu kadar fark oluşturduğunda komşu düzlemlerden saçılan X-ışınları yapıcı şekilde birleşirler (yapıcı birleşim).

$2d\sin \theta =n\lambda \,$

Bir yansımanın, Miller indisleri (ya da daha doğrusu, onun karşılıklı kafes vektörü bileşenleri) bilinen dalga boyu ve saçılma açısı 2θ’dan tespit edildiğinde indekslendiği söylenir. Bu tür dizin birim hücre parametrelerini, birim hücrenin uzunluklarını ve açılarını, aynı zamanda uzay grubunu verir. Bragg kanunu yansımaların göreceli yoğunluklarını yorumlamadığından, bununla birlikte, bu birim hücre içinde atomlarının düzenlenmesi için çözmek genel olarak yetersiz olup, bunun için, bir Fourier dönüşüm yöntemi uygulanmalıdır.

Fourier dönüşümü olarak Saçılım

Gelen X-ışınının kutuplaşması vardır ve bir vektör dalga olarak temsil edilir ancak basitlik açısından burada o ölçeksel bir dalga olarak temsil edilmektedir. Biz aynı zamanda dalganın zaman bağımlılığı komplikasyonunu yok sayıp sadece dalganın mekânsal bağımlılığına odaklanıyoruz. Düzlem dalgalar bir dalga vektör grubu ile temsil edilir ve dolayısıyla t=0 zamanında gelen dalganın gücü aşağıdaki formül ile bulunur.

$A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {r} }$

Örnekteki r konumunda dağılma yoğunluğu f(r) olsun, bu dağıtıcıların gelen dalga sayısı çarpı r’nin çevresindeki küçük hacimli (dV) dağıtıcıların lokal sayısının genliği ile orantılı saçıntılı küresel dalga genliği üretmeleri gerekir.

saçılan dalganın genliği:$=A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }Sf(\mathbf {r} )\mathrm {d} V$

Burada S orantı sabittir.

Saçılan dalgaların k_out giden dalga vektörü ile ayrılan ve ekrana r_screen ile çarpan kısmını ele alalım. Hiçbir enerjinin (esnek saçılma) kaybolmaması nedeniyle, dalga boyları dalga vektörlerin büyüklükleriyle aynıdır |k_in| = |k_out|. Foton r’den saçıldığı andan itibaren r_screen’de emilene kadar geçen süre içerisinde bir faz değişikliğine uğrar.

$e^{i\mathbf {k} _{out}\cdot \left(\mathbf {r} _{\mathrm {screen} }-\mathbf {r} \right)}$

r_screen’e gelen net radyasyon kristal içinde dağılan tüm dalgaların toplamıdır.

$AS\int \mathrm {d} \mathbf {r} f(\mathbf {r} )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {k} _{in}\cdot \mathbf {r} }$

Ki bu da Fourier dönüşümü olarak yazılabilir.

$AS\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {k} _{out}\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {screen} }}$

Burada q=k_out-k_in. Yansımanın ölçülen yoğunluğu bu genliğin karesi olacaktır.

$A^{2}S^{2}\left|F(\mathbf {q} )\right|^{2}$

Friedel ve Bijvoet Arkadaşlar

Karşılıklı uzaydaki bir q noktasına denk gelen her yansıma için karşıt nokta -q’da aynı yoğunlukta başka bir yansıma vardır. Bu ters yansıma gerçek yansımanın Friedel arkadaşı olarak bilinir. Bu simetri r pozisyonundaki elektronların f(r) yoğunluğunun her zaman bir gerçek sayı olduğu matematiksel gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Yukarıda belirtildiği gibi f(r) Fourier dönüşümü F(q)’nun ters dönüşümüdür, ancak böyle bir ters dönüşüm genellikle karmaşık bir sayıdır. F(r)’nin gerçek olduğundan emin olmak için, Fourier F(q) Friedel arkadaşları F(-q) ve F(q) birbirinin kompleks eşlenikleri şekilde olmalıdır. Bu nedenle, F(-q) F(q) ile aynı büyüklüğe sahiptir fakat ters fazlardır, bunlar örneğin; φ (q) =-φ (q).

$F(-\mathbf {q} )=\left|F(-\mathbf {q} )\right|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi (-\mathbf {q} )}=F^{*}(\mathbf {q} )=\left|F(\mathbf {q} )\right|\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \phi (\mathbf {q} )}$

Onların büyüklüklerinin eşitliği Friedel arkadaşlarının aynı yoğunlukta var olmasını sağlar |F|². Bu simetri bizim ful Fourier dönüşümünün karşılıklı uzayın sadece yarısını hesaplamamıza yardımcı olur, örneğin; kristali tam tur 360°’den ise 180°’den biraz daha fazla çevirerek. Önemli ölçüde simetrisi olan kristallerde daha da fazla yansımalar aynı yoğunluğa (Bijvoet arkadaşlar) sahip olabilirler, bu gibi durumlarda daha da az olan karşılıklı uzaylarının ölçülmesi gerekebilir. Yüksek simetrinin elverişli durumlarında bazen sadece 90° ve hatta bazen sadece 45°’lik veri karşılıklı uzayı tamamen keşfetmek için gereklidir.

Friedel-arkadaşlar kısıtlama ters Fourier dönüşümü tanımından elde edilebilir.

$f(\mathbf {r} )=\int {\frac {d\mathbf {q} }{\left(2\pi \right)^{3}}}F(\mathbf {q} )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {q} \cdot \mathbf {r} }=\int {\frac {d\mathbf {q} }{\left(2\pi \right)^{3}}}\left|F(\mathbf {q} )\right|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi (\mathbf {q} )}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {q} \cdot \mathbf {r} }$

Euler'in formülü eⁱx = cos(x) + i sin(x) olduğundan ters Fourier dönüşümü tamamen gerçek bölüm ve tamamen hayali bölümün toplamı olucak şekilde ikiye ayrılabilir.

$f(\mathbf {r} )=\int {\frac {d\mathbf {q} }{\left(2\pi \right)^{3}}}\left|F(\mathbf {q} )\right|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \left(\phi +\mathbf {q} \cdot \mathbf {r} \right)}=\int {\frac {d\mathbf {q} }{\left(2\pi \right)^{3}}}\left|F(\mathbf {q} )\right|\cos \left(\phi +\mathbf {q} \cdot \mathbf {r} \right)+i\int {\frac {d\mathbf {q} }{\left(2\pi \right)^{3}}}\left|F(\mathbf {q} )\right|\sin \left(\phi +\mathbf {q} \cdot \mathbf {r} \right)=I_{\mathrm {cos} }+iI_{\mathrm {sin} }$

f(r) işlevi (fonksiyonu) sadece ve sadece ikinci tümlev (integral) I_sin r’nin tüm değerleri için 0 ise gerçektir. Buna karşılık, bu sadece ve sadece yukarıdaki kısıtlama sağlandığında doğrudur.

$I_{\mathrm {sin} }=\int {\frac {d\mathbf {q} }{\left(2\pi \right)^{3}}}\left|F(\mathbf {q} )\right|\sin \left(\phi +\mathbf {q} \cdot \mathbf {r} \right)=\int {\frac {d\mathbf {q} }{\left(2\pi \right)^{3}}}\left|F(\mathbf {-q} )\right|\sin \left(-\phi -\mathbf {q} \cdot \mathbf {r} \right)=-I_{\mathrm {sin} }$

I_sin = −I_sin ifadesi I_sin=0 manasına geldiği için.

Ewald'ın Küresi

Her bir X-ışını kırılma görüntüsü Ewald küre yapısı ile görülebileceği gibi, tek bir dilimi, karşılıklı uzay küresel dilimini temsil eder. Hem k_out hem de k_in elastik saçıntıdan dolayı ve dalga boyunun değişmemesinden dolayı aynı uzunluktadır. Dolayısıyla, onlar karşılıklı uzaydaki bir kürenin içindeki iki radyal vektör olarak temsil edilirler ki bu vektörler de belirli bir kırılma görüntüsü içinde örneklenen q değerlerini göstermektedir. Gelen X-ışını demetinin gelen dalga boyu hafif yayılmış olduğu için, |F(q)|’nun değeri yalnızca o yarıçaplarına tekabül eden iki küre arasında bulunan q vektörleri için ölçülebilir. Bu nedenle, tam bir Fourier dönüşüm verisi elde etmek için, kristali 180°’den birazcık fazla ya da bazen yeterli simetri mevcut ise daha az kristal döndürmek gerekir. Gerçek fonksiyonların (elektron yoğunluğu gibi) Fourier dönüşümlerine içsel simetri nedeniyle tam bir 360 derece dönüş gerekli değildir ancak, Ewald küresinin eğriliği nedeniyle belirli bir çözünürlük içinde karşılıklı uzayın tamamını kaplamak için 180 dereceden biraz fazla dönüş gereklidir. Uygulamada kristal, küresel Ewald kabuklarının sınırları yakınındaki yansımaları kapsamak için küçük bir miktar (0.25-1 °) ile sallanarak dengelenir.

Patterson işlevi

Fourier dönüşümlerinin iyi bilinen bir sonucu otoilişkilendirim (otokorelasyon) kuramıdır. Bu kuram f(r) işlevinin c(r) otokorelasyonunu tanımlar.

$c(\mathbf {r} )=\int d\mathbf {x} f(\mathbf {x} )f(\mathbf {x} +\mathbf {r} )=\int {\frac {d\mathbf {q} }{\left(2\pi \right)^{3}}}C(\mathbf {q} )e^{i\mathbf {q} \cdot \mathbf {r} }$

Formülü Fourier dönüşümü c(q)’ya sahiptir ki bu da f(q)’nun karesi büyüklüğündedir.

$C(\mathbf {q} )=\left|F(\mathbf {q} )\right|^{2}$

Bu nedenle, elektron yoğunluğunun otokorelasyon fonksiyonu c(r) (aynı zamanda Patterson fonksiyonu olarak da bilinir) fazları hesaplamadan, yansıma yoğunlukları ile doğrudan hesaplanabilir. Prensip olarak, bu direkt olarak kristal yapısını belirlemek için kullanılır ancak, uygulamada bunu gerçekleştirmek zordur. Otokorelasyon fonksiyonu kristal atomlar arasındaki vektörlerin dağılımına karşılık gelir, bu yüzden, birim hücre içerisinde N atoma sahip bir kristal Patterson fonksiyonu N(N-1) tane tepeye sahip olabilir. Yoğunlukların ölçülmesindeki kaçınılmaz hatalar ve atomlar arası vektörlerden atomik pozisyonların yeniden oluşturulmasının matematiksel güçlükleri göz önüne alındığında, bu teknik, nadiren basit kristaller haricinde nadiren yapıları çözmek için kullanılır.

Kristalin Avantajları

Prensip olarak, bir atomik yapı, kristal olmayan örneklerden ve tek bir molekülden bile, X-ışını saçılması uygulanarak ayırt edilebilir. Bununla birlikte, kristaller periyodik konumlarından dolayı daha kuvvetli sinyal sunarlar. Örnek bir kristalin periyodik tanımı, bir kristal üç bağımsız yönde sonsuz kez tekrar eden birçok birim hücrelerden oluşmaktadır. Bu tür periyodik sistemler, Bragg zirveleri olarak bilinen karşılıklı uzaydaki periyodik olarak tekrar eden noktaların yoğunlaştırılmış Fourier dönüşümlere sahiptirler; Bragg pikleri kırılma görüntüsünde gözlenen yansıma noktalarına karşılık gelir. Bu yansımalardaki genlik, saçıcıların sayısı olan N ile lineer olarak büyür, bu noktaların gözlenen yoğunluğu ise N² şeklinde kuadratik olarak büyümelidir. Diğer bir deyişle, bir kristalin kullanılması tek birim hücrelerin zayıf saçılmalarını yoğunlaştırarak daha güçlü ve daha tutarlı, gürültü seviyesinin üzerinde gözlemlenen yansımalara dönüştürür. Bu bir yapıcı girişime örnektir.

Bir sıvıdaki, tozdaki ya da amorf örnekteki moleküller rastgele düzende bulunmaktadırlar. Bu örnekler, SAXS’ta gözlendiği gibi, genliğini düzenli bir şekilde yayan ve böylelikle ölçülen sinyal şiddetini azaltan sürekli bir Fourier spektrumuna sahiptirler. Daha da önemlisi yönelimsel bilgiler kaybolur. Teorik olarak mümkün olmasına rağmen, bu tür rotasyonel ortalama verilerden karmaşık, asimetrik moleküllerin atomik çözünürlükte yapılarını elde etmek deneysel olarak zordur. Bir ara durum ise, alt-birimleri en az bir boyutta düzenli olarak yerleştirilmiş olan fiber difraksiyondur.