Vikipedi, özgür ansiklopedi
İstatistik bilim dalında D'Agostino'nun K2 sınaması normal dağılımdan ayrılmayı ölçmek için kullanılan bir uygulama iyiliği ölçüsüdür. Örneklem basıklık ve çarpıklık ölçülerinin dönüşümlerinden elde edilmiştir. K2 istatistiği şöyle elde edilir:
n değerinin gözlem sayısı ve böylelikle genellikle serbestlik derecesi olduğu bilinmektedir. Örneklem çarpıklık ölçüsü,
b
1
{\displaystyle {\sqrt {b_{1}}}}
b
1
=
μ
3
σ
3
=
μ
3
(
σ
2
)
3
/
2
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
x
−
x
¯
)
3
(
1
n
∑
i
=
1
n
(
x
−
x
¯
)
2
)
3
/
2
{\displaystyle {\sqrt {b_{1}}}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\mu _{3}}{\left(\sigma ^{2}\right)^{3/2}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{3}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}}
Örneklem basıklık ölçüsü,
b
2
{\displaystyle {\sqrt {b_{2}}}}
b
2
=
μ
4
σ
4
=
μ
4
(
σ
2
)
2
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
x
−
x
¯
)
4
(
1
n
∑
i
=
1
n
(
x
−
x
¯
)
2
)
2
{\displaystyle b_{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}={\frac {\mu _{4}}{\left(\sigma ^{2}\right)^{2}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{4}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{2}}}}
Burada
x
¯
{\displaystyle {\bar {x}}}
ortalaması , σ2 ikinci merkezsel moment veya varyans ve sırasiyla μ3 ve μ4 üçüncü ve dördüncü merkezsel moment lerdir.
Önce, çarpıklık ölçüsü
b
1
{\displaystyle {\sqrt {b_{1}}}}
Z
(
b
1
)
{\displaystyle Z\left({\sqrt {b_{1}}}\right)}
hesaplanır. Verinin normal dağılım gösterdiğine dair sıfır hipotez geçerli ise, bu ifade yaklaşık olarak normal dağılım gösterir:
Y
=
b
1
⋅
(
n
+
1
)
(
n
+
3
)
6
(
n
−
2
)
{\displaystyle Y={\sqrt {b_{1}}}\cdot {\sqrt {\frac {(n+1)(n+3)}{6(n-2)}}}}
β
2
(
b
1
)
=
3
(
n
2
+
27
n
−
70
)
(
n
+
1
)
(
n
+
3
)
(
n
−
2
)
(
n
+
5
)
(
n
+
7
)
(
n
+
9
)
{\displaystyle \beta _{2}\left({\sqrt {b_{1}}}\right)={\frac {3(n^{2}+27n-70)(n+1)(n+3)}{(n-2)(n+5)(n+7)(n+9)}}}
W
2
=
−
1
+
2
(
β
2
(
b
1
)
−
1
)
{\displaystyle W^{2}=-1+{\sqrt {2(\beta _{2}\left({\sqrt {b_{1}}}\right)-1)}}}
δ
=
1
/
l
n
(
W
)
{\displaystyle \delta =1/{\sqrt {ln(W)}}}
α
=
2
W
2
−
1
{\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {2}{W^{2}-1}}}}
Z
(
b
1
)
=
δ
l
n
(
Y
/
α
+
(
Y
/
α
)
2
+
1
)
{\displaystyle Z\left({\sqrt {b_{1}}}\right)=\delta ln\left(Y/\alpha +{\sqrt {(Y/\alpha )^{2}+1}}\right)}
Sonra, basıklık ölçüsü olan
b
2
{\displaystyle b_{2}}
Z
(
b
2
)
{\displaystyle Z\left(b_{2}\right)}
E
(
b
2
)
=
3
(
n
−
1
)
n
+
1
{\displaystyle E\left(b_{2}\right)={\frac {3(n-1)}{n+1}}}
σ
b
2
2
=
24
n
(
n
−
2
)
(
n
−
3
)
(
n
+
1
)
2
(
n
+
3
)
(
n
+
5
)
{\displaystyle \sigma _{b_{2}}^{2}={\frac {24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^{2}(n+3)(n+5)}}}
x
=
b
2
−
E
(
b
2
)
σ
b
2
{\displaystyle x={\frac {b_{2}-E\left(b_{2}\right)}{\sigma _{b_{2}}}}}
Bundan sonra ise, basıklık ifadesinin çaprazlığı bulunur:
β
1
(
b
2
)
=
6
(
n
2
−
5
n
+
2
)
(
n
+
7
)
(
n
+
9
)
6
(
n
+
3
)
(
n
+
5
)
n
(
n
−
2
)
(
n
−
3
)
{\displaystyle {\sqrt {\beta _{1}\left(b_{2}\right)}}={\frac {6(n^{2}-5n+2)}{(n+7)(n+9)}}{\sqrt {\frac {6(n+3)(n+5)}{n(n-2)(n-3)}}}}
A
=
6
+
8
β
1
(
b
2
)
[
2
β
1
(
b
2
)
+
1
+
4
β
1
(
b
2
)
]
{\displaystyle A=6+{\frac {8}{\sqrt {\beta _{1}\left(b_{2}\right)}}}\left[{\frac {2}{\sqrt {\beta _{1}\left(b_{2}\right)}}}+{\sqrt {1+{\frac {4}{\beta _{1}\left(b_{2}\right)}}}}\right]}
Z
(
b
2
)
=
(
(
1
−
2
9
A
)
−
1
−
2
/
A
1
+
x
2
/
(
A
−
4
)
3
)
9
A
2
{\displaystyle Z\left(b_{2}\right)=\left(\left(1-{\frac {2}{9A}}\right)-{\sqrt[{3}]{\frac {1-2/A}{1+x{\sqrt {2/(A-4)}}}}}\right){\sqrt {\frac {9A}{2}}}}
Şimdi, bu
Z
(
b
1
)
{\displaystyle Z\left({\sqrt {b_{1}}}\right)}
Z
(
b
2
)
{\displaystyle Z\left(b_{2}\right)}
K
2
=
(
Z
(
b
1
)
)
2
+
(
Z
(
b
2
)
)
2
{\displaystyle K^{2}=\left(Z\left({\sqrt {b_{1}}}\right)\right)^{2}+\left(Z\left(b_{2}\right)\right)^{2}}
K
2
{\displaystyle K^{2}}
χ
2
{\displaystyle \chi ^{2}}
D'Agostino, Ralph B., Albert Belanger, and Ralph B. D'Agostino, Jr. "A Suggestion for Using Powerful and Informative Tests of Normality", The American Statistician , Cilt. 44, No. 4. (Kasım., 1990), say. 316-321. 
![{\displaystyle A=6+{\frac {8}{\sqrt {\beta _{1}\left(b_{2}\right)}}}\left[{\frac {2}{\sqrt {\beta _{1}\left(b_{2}\right)}}}+{\sqrt {1+{\frac {4}{\beta _{1}\left(b_{2}\right)}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21fe57bc3a053dea3b7b69c309677fcc7a5da929)
![{\displaystyle Z\left(b_{2}\right)=\left(\left(1-{\frac {2}{9A}}\right)-{\sqrt[{3}]{\frac {1-2/A}{1+x{\sqrt {2/(A-4)}}}}}\right){\sqrt {\frac {9A}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8dd42e1fa19623ad9d5ac34796e8254cc94013)
