Compton dalga boyu

Compton dalgaboyu bir parçacığın kuantum mekaniği özelliğidir. Compton dalgaboyu Arthur Compton tarafından elektronların foton saçılması olayı izah edilirken gösterilmiştir. (Bu süreç Compton saçılması olarak da bilinir.) Bir parçacığın Compton dalga boyu; enerjisi parçacığın durgun kütle enerjisine eşit olan fotonun dalgaboyuna eşittir. Parçacığın Compton dalgaboyu ( λ) şuna eşittir:

$\lambda ={\frac {h}{mc}}\$

h planck sabitini, m parçacığın durgun kütlesini, c ise ışığın hızını göstermektedir. Bu denklemin manası Compton’ın shift denkleminin türevinden bulunur. 2010 yılında CODATA tarafından elektronun Compton dalgaboyu değeri 2.4263102389(16)×10−12 m verilmiştir. Diğer parçacıkların Compton dalgaboyları farklıdır.

İndirgenmiş Compton Dalga Boyu

Compton dalgaboyu ${2\pi }$ le bölündüğü zaman daha küçük veya indirgenmiş Compton dalgaboyu elde edilir.

${\frac {\lambda }{2\pi }}={\frac {\hbar }{mc}}\$

Nicem ölçeğinde kütle için indirgenmiş Compton dalgaboyu doğal bir temsilidir ve bu nicem mekaniğinin temel denklemlerinde çokça görünür. İndirgenmiş dalgaboyu serbest bir parçacık için göreleli Klein-Gordon denkleminde görünür:

$\mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\psi$

Dirac denkleminde de görülür. (Bu denklem belirgin bir şekilde Einstein’ın toplama kuralına uygundur.):

$-i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0\,$

Denklemin geleneksel temsillerini anlaşılmaz hale getirmesine karşın indirgenmiş Compton dalgaboyu ayrıca Schrödinger’in denkleminde de görülür. Aşağıdaki hidrojen benzeri atom için Schrödinger’in denklemidir:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\psi$

Denklemin her iki tarafının $\hbar c$ ile bölünmesi ve ince yapı sabitiyle tekrar yazılmasıyla elde edilir.

${\frac {i}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)\nabla ^{2}\psi -{\frac {\alpha Z}{r}}\psi$

İndirgenmiş ve İndirgenmemiş Compton Dalgaboyu arasındaki ilişki

Nicem ölçeğinde kütle için indirgenmiş Compton dalgaboyu doğal bir temsilidir. Klein-Gordon ve Schrödinger’in denklemlerinde olduğu gibi kütle formundaki kütleye ait denklemlerde indirgenmiş Compton dalgaboyunu kullanır. İndirgenmemiş Compton dalgaboyu kütlesi enerjiye dönüştürülmüş olanların doğal temsilidir. Kütlenin enerjiye dönüşmesine ait denklemlerde veya kütlesiyle etkileşim içinde bulunan foton dalgaboyuna ait denklemlerde indirgenmemiş Compton dalgaboyunu kullanın. Durgun kütlesi m olan bir parçacığın durgun enerjisi E = mc² eşittir. Bu parçacığın indirgenmemiş Compton dalgaboyu aynı enerjiye sahip fotonun dalgaboyuna eşittir. Fotonlar için tekrar sıklığı (frekans) (f) şuna eşittir:

$E=hf={\frac {hc}{\lambda }}=mc^{2}\$

eğer denklem λ için çözülürse indirgenmemiş Compton dalgaboyu denklemi elde edilir.

Ölçümde sınırlama

İndirgenmiş Compton dalgaboyu nicem mekaniği ve özel görelilik dikkate alındığında bir parçacığın konumunu ölçen temel bir sınırlama olarak düşünülebilir. Bu parçacığın kütlesine m bağlıdır. Bunu görebilmek için ışığın sıçramasıyla parçacığın konumunu hesaplayabiliriz ancak parçacığın konumunu kesin olarak belirlemek için kısa dalgaboyuna sahip ışık gerekir. Kısa dalga boyuna sahip ışık yüksek enerjiye sahiptir. Foton konumu belirlenen parçacığa çarptığında eğer bu fotonun enerjisi mc² aşarsa çarpışma aynı tipte parçacık yaratmak için gerekli olan enerjiye sahip olabilir. Bu durum orijinal parçacığın konumu hakkında tartışmalı soru oluşturmaktadır. Bu argüman ayrıca şunu gösterir ki indirgenmiş Compton dalgaboyu nicem alan kuramının sona erme noktasıdır. Bu argüman hakkında daha belirgin açıklamayı devamında yapabiliriz. Parçacığın yerini Δx kesinliğinde ölçmek istediğimizi varsayalım. Konum ve momentum için belirsizlik ilkesi şu denklemi varsayar:

$\Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}},$

Dolayısıyla parçacığın momentum belirsizliği şunu karşılar:

$\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2\Delta x}}.$

Momentum ve enerji arasındaki görelilik ilişkisi kullanılarak Δp mc aştığında enerjideki belirsizlik mc2den büyük olduğunda bu aynı tipteki parçacık oluşturulması için gerekli enerjiyi sağlar. Bunu Δx için temel sınırlama takip eder.

$\Delta x\geq {\frac {1}{2}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right).$

Bundan dolayı konumdaki belirsizlik indirgenmiş Compton dalgaboyunun (ħ/mc) yarısından büyük olmak zorundadır. Compton dalgaboyu parçacığın momentumuna dayanan ve parçacık ile nicem mekaniğindeki dalgaboyu davranışını arasındaki kesimi belirleyen de Broglie dalgaboyu ile ters düşebilir.

Diğer sabitlerle ilişkisi

Tipik atomik uzunluk, dalga numarası ve fizikteki alanlar indirgenmiş Compton dalgaboyu ve elektromanyetik ince yapı sabitiyle ilişkilendirilebilir. Bohr çapı Compton dalgaboyuyla şu eşitlikle ilişkilidir:

$a_{0}={\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {\lambda _{e}}{2\pi }}\right)\simeq 137\times {\bar {\lambda }}_{e}\simeq 5.29\times 10^{4}~{\textrm {fm}}$

Klasik elektron çapı protonun üç katı kadar daha geniştir ve şu şekilde yazılır:

$r_{e}=\alpha \left({\frac {\lambda _{e}}{2\pi }}\right)\simeq {\frac {{\bar {\lambda }}_{e}}{137}}\simeq 2.82~{\textrm {fm}}$

Rydberg sabiti şu şekilde yazılır:

$R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}}{2\lambda _{e}}}$

Fermiyonlar için, indirgenmiş dalgaboyu etkileşimlerin kesitini belirler. Örneğin, bir elektronun fotonunun Thomson saçılması kesiti

$\sigma _{T}={\frac {8\pi }{3}}\alpha ^{2}{\bar {\lambda }}_{e}^{2}\simeq 66.5~{\textrm {fm}}^{2}$

eşittir. Bu kabaca demir (56) atom çekirdeğinin kesit alanına eşittir. Fotonun durgun kütlesi olmamasına ve elektromanyetizması sonsuz bir yelpazeye sahip olmasına bağlı olarak bozonlar için Compton dalgaboyu Yukawa etkileşiminin etkili menzilini ayarlar. Kütleçekimsel fizikte tipik uzunluk ve alanlar Compton dalgaboyu ve kütleçekimsel çift sabit ile ilişkilendirilebilir. $\alpha _{G}$ ince yapı sabitinin kütleçekimsel benzeşiğidir.) Planck kütlesi özeldir çünkü bu kütlenin Compton dalgaboyu Schwarzschild çapının yarısına eşittir. Bu özel uzaklık Planck uzunluğu olarak adlandırılır.

$\ell _{P}$

Bu boyutsal çözümlemenin basit bir halidir: Schwarzschild çapı kütleyle orantılıyken, Compton dalgaboyu kütlenin tersiyle orantlıdır. Planck uzunluğu şu şekilde ifade edilir:

$\ell _{P}=\lambda _{e}\,{\frac {\sqrt {\alpha _{G}}}{2\pi }}$