Arrow'un imkânsızlık teoremi

Arrow’un İmkansızlık Teoremi veya Arrow’un Paradoksu, oylama sistemlerinde, dereceli tercihlere dayanan ve üç ya da daha fazla seçenek sunan hiçbir oylama sisteminin belli bir takım mantıklı kıstasları aynı anda sağlayamayacağını gösterir. Bu kıstaslar, kısıtlanmamış alan, dayatmama, diktatörsüzlük, tekdüzelik ve ilgisiz alternatiflerin bağımsızlığı kıstaslarıdır ve aşağıda açıklanacaklardır.

Teorem, ismini aldığı ekonomici Kenneth Arrow tarafından doktora tezi olarak sunulmuş ve 1951 yılında yayımlanan Toplumsal Tercih ve Bireysel Değerler adlı kitabı ile popülerlik kazanmıştır. Arrow, 1972'de ekonomi alanında Nobel Ödülü'nü kazananlardan biridir.

Kuramın özeti

Seçenek dökümleri çıkarılması pek çok alanda karşılaşılan bir uygulamadır. Refah ekonomisinde kabul edilebilir ve dengeli bir ekonomik çözüm bulunması, çeşitli kıstaslara dayanarak akılcı bir karara ulaşılan karar verme süreçleri, çok sayıda seçmenin oylarının değerlendirilmesi ile bir karara ulaşılan seçim sistemleri gibi örneklerde seçenek dökümleri yapılması gereksinimi oluşur.

Arrow'un kuramının temelinde belli bir seçenek (sonuç) kümesinden bir tercih sırası ortaya çıkarma düşüncesi yatar. Toplumdaki her birey (veya benzer şekilde her karar kıstası) seçenek kümesindeki seçenekleri belli bir sıralamaya tabi tutar. Bu tercihli seçim sisteminde aradığımız şey, bu çok sayıdaki bireysel sıralanmış tercihleri tek bir genel toplumsal tercih sırasına dönüştürecek olan bir toplumsal refah işlevidir. Adil bir oylama yönteminin oluşturulmasında mantıklı olduğu kabul edilen aşağıdaki özellikler, kuramda önemli yer tutar:

Diktatörsüzlük: Toplumsal refah işlevi, sadece tek bir bireyin tercih sırasını dikkate alıp, diğer bireyleri görmezden gelemez. Bir başka deyişle toplumsal refah işlevi birden fazla seçmenin isteklerine duyarlıdır.
Kısıtlanmamış Alan veya Evrensellik: Toplumsal refah işlevi, mümkün olan bütün bireysel tercih sıralamalarını değerlendirerek deterministik ve eksiksiz bir toplumsal tercih sıralaması oluşturmalıdır. Bir başka deyişle, oylar bütün seçenekleri birbirine göre kıyaslayan bir sıralama şeklinde üretilmeli, oy işleme düzeneği de bütün seçmenlerin sıralamalarını (oylarını) işleyebilmeli ve bu oy dağılımı üzerinde her çalıştırılışında aynı sonucu vermelidir; sürecin hiçbir noktasında keyfiyet yoktur.
İlgisiz Alternatiflerin Bağımsızlığı (İAB): Eğer dikkatimizi sonuç kümesinin bir alt kümesine odaklarsak ve toplumsal refah işlevini sadece o alt kümeye uygularsak, elde ettiğimiz sonuç tüm kümeye uyguladığımızda elde ettiğimiz sonuçla bağdaşmalıdır. Bireylerin ilgisiz alternatiflerdeki (alt kümenin dışında kalan elemanlardaki) tercih sırasını değiştirmeleri, ilgilendiğimiz alt kümedeki toplumsal tercih sıralamasına etki etmemelidir. Bu özellik toplumsal refah işlevinin bireysel tercih ~~profiline~~ yanayına olan duyarlılığını azaltmak için getirilen bir kısıtlamadır.
Tekdüzelik veya Toplumsal ve Bireysel Değerlerin Azaltmayıcı İşbirliği: Eğr bir birey kendi tercih sıralamasındaki bir elemanı daha üst sıraya çıkartırsa bu eleman toplumsal tercih sırasında da ya daha üste çıkmalı ya da konumunu korumalıdır; aşağı düşemez. Bir başka deyişle bir birey, bir seçeneği daha üste çıkarmak suretiyle aşağı çekemez.
Dayatmama veya Bireyin Egemenliği: Bireysel tercih sıralamalarının sonucunda mümkün olan bütün toplumsal tercih sıralamaları oluşabilmelidir. Bu da toplumsal refah işlevinin üzerine olduğunu gösterir, sonuç kümesinde herhangi bir kısıtlama yoktur.

Arrow'un kuramına göre karar verici kurumda en az iki üye ve seçenek grubunda da en az üç seçenek bulunduğu durumda bu yukarıda anılan kıstasları aynı anda sağlayan bir toplumsal tercih işlevi tasarlamak mümkün değildir.

Arrow'un kuramının bir başka sürümü tekdüzelik ve dayatmama kıstaslarının yerini almak üzere aşağıdaki kıstasın eklenmesiyle elde edilir:

Pareto Verimliliği: Eğer tüm bireyler belli bir seçeneği bir başkasına yeğlerse, bu yeğleme toplumsal tercih sıralamasına da yansımak zorundadır. Bu kıstas, yine, toplumsal refah işlevinin tercih yanayına gösterdiği hassasiyeti en aza indirmek için arzu edilir.

Kuramın bu sürümü daha güçlüdür (daha zayıf koşulları vardır) zira tekdüzelik, dayatmama ve ilgisiz alternatiflerin bağımsızlığı koşulları beraberce Pareto verimliliği koşulunu sağlatır. Bununla beraber Pareto verimliliği, dayatmama ve ilgisiz alterntiflerin bağımsızlığı bereberce tekdüzelik koşulunu sağlatmayabilir.

Kuramın resmî ifadesi

$\mathrm {A}$ bir sonuçlar kümesi olsun, $\mathrm {N}$ de seçmenlerin veya karar kıstaslarının bulunduğu küme olsun. $\mathrm {A}$ 'nın bütün tam doğrusal sıralamalarını $\mathrm {L(A)}$ ile gösterelim (bu küme $\mathrm {A}$ kümesinin elemanlarının permütasyonlarını gösteren $\mathrm {S_{|A|}}$ kümesine denktir).

Bir toplumsal refah işlevi, $F:\mathrm {L(A)} ^{N}\to \mathrm {L(A)}$ şeklinde gösterilen ve seçmenlerin tercih sıralamalarını $\mathrm {A}$ üzerinde tek bir tercih sıralamasına dönüştüren bir işlevdir. Seçmenlerin trcihlerini gösteren $\mathrm {N}$ elemanlı $(R_{1},\ldots ,R_{N})$ kümesine tercih yanayı (tercih profili) denir. Arrow'un kuramı, en güçlü ve en sade biçimindeyken, $\mathrm {A}$ seçenek kümesinde 2'den fazla eleman bulunduğu takdirde aşağıdaki üç koşul arasında uyumsuzluk oluşacağını ilan eder:

Pareto Verimliliği veya Oybirliği: Eğer a seçeneği tüm $R_{1},\ldots ,R_{N}$ sıralamalarında b'den önce seçilmişse a'nın derecesi $F(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{N})$ tarafından da b'den önce seçilir. (Bu maddenin dayatmama özelliğini de kendiliğinden sağladığına dikkat ediniz).

Diktatörsüzlük: Tercihleri her zaman baskın olan bir i bireyi yoktur. Yani, $\forall (R_{1},\ldots ,R_{N})\in \mathrm {L(A)} ^{N},\quad F(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{N})=R_{i}$ ifadesini sağlayan bir $i\in \{1,\ldots ,N\}$ elemanı yoktur.

İlgisiz Alternatiflerin Bağımsızlığı: $R_{1},\ldots ,R_{N}$ ve $S_{1},\ldots ,S_{N}$ şeklindeki iki tercih yanayında, tüm i bireyleri için eğer a ve b tercih sırası $R_{i}$ 'de ve $S_{i}$ 'de aynı ise, a ve b seçeneklerinin sırası $F(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{N})$ 'de ve $F(S_{1},S_{2},\ldots ,S_{N})$ 'de de aynıdır.

Kuramın irdelenmesi

Arrow'un kuramı matematiksel bir sonuçtur, ancak sıkça "Adil bir oylama yöntemi yoktur", "Bütün dereceleme yöntemleri kusurludur" veya "Kusursuz olan yegâne oylama yöntemi diktatörlüktür" gibi matematik dışı ifadelerle dile getirilir. Bu söylemler Arrow'un sonucunu basite indirgemekte ve genelgeçer gerçekler olarak kabul görmemektedirler. Arrow'un kuramının bize söylediği şey, bir oylama düzeneğinin yukarıda sayılan koşulların hepsini aynı anda sağlamasının mümkün olmadığıdır.

Arrow, öne sürdüğü kıstaslar için "adil" sıfatını kullanmıştı. Gerçekten de, Pareto verimliliği ve dayatmama koşulları önemsiz ayrıntılar gibi görünüyor. Ancak ilgisiz alternatiflerin bağımsızlığı (İAB) kıstasını göz önüne alırsak; diyelim ki Ahmet, Kemal ve Osman liderlik için yarışmaktadırlar ve Osman gözde adaydır. Arrow'un kuramına göre, İAB koşulunun sağlanması için örneğin Kemal'in yarış dışı kalması durumunun Osman'ı ve Ahmet'i etkilememesi gerekir. Ancak Kemal'in alacağı oyların Ahmet'e kayması sonucu seçimi Ahmet kazanmaktadır. Bu durum pek çok kişi tarafından "haksızlık" olarak yorumlanır. Ancak olmaktadır ve Arrow'un kuramı da bu "haksız" durumların, başka bir kıstası gevşetmedikçe tümüyle önlenemeyeceğini ortaya koymaktadır. Kusursuz sistem olamamaktadır. Dolayısıyla Arrow'un kuramının ışığı doğrultusunda sorulması gereken ana soru şudur: hangi kıstası gevşetmeli?

Çeşitli kuramcılar ve meraklılar bu paradokstan çıkmak için İAB kıstasını gevşetmeyi önermişlerdir. Dereceli seçim sistemlerinin destekçileri İAB'nin gereğinden kuvvetli bir kıstas olduğunu ve gerçek hayattaki durumlarda pek tutmadığını öne sürmektedirler. Gerçekte de en kullanışlı seçim sistemlerinin çoğunda delinen kıstas İAB olmaktadır.

Bu görüşün destekçileri döngüsel tercihlerin dolaylı olarak standart İAB'yi deleceğine dikkati çekmektedirler. Eğer seçmenler aşağıdaki gibi oy verirse...

7 oy A > B > C şeklinde,
6 oy B > C > A şeklinde
5 oy C > A > B şeklinde

...bu durumda grubun net tercih sıralaması A > B > C > A şeklinde oluşur. Bu durumda ilk tercihte çoğunluğu sağlayan adayın kazanması şeklindeki temel çoğunluk ilkesini sağlayan ve tek bir kazanan seçen tüm sistemler İABK'ını delecektir. Genelliği kaybetmeden, yukarıdaki oy yanayında B'nin seçimden çekildiğini düşünecek olursak, oy yanayı aşağıdaki aşağıdakine dönüşür:

7 oy A > C şeklinde
11 oy C > A şeklinde

Böylece, her ne kadar sistemdeki değişim (zaten kazanamayacak olan B'nin çekilmesi) "ilgisiz" olsa da C kazanır.

Dolayısıyla, Arrow'un kuramının gerçekte bize gösterdiği şey seçim düzeneğinin öyle önemsiz bir ayrıntı olmadığı ve çoğu oylama düzeneğinin sonucunu tahmin etmekte oyun kuramının kullanılması gerektiğidir. Bu hayalkırıcı bir sonuç gibi gözükebilir, zira oyunlarda verimli bir dengelenim oluşmak zorunda değildir, örneğin bir oylama sonucunda aslında kimsenin ilk sıraya koymadığı ama yine de oy verdiği bir alternatif seçimi kazanabilir.

Diğer olanaklar

Aşağıdaki tartışma Arrow'un paradoksuyla başetmenin "doğru" yolununun kıstaslardan birini ortadan kaldırmakla (veya gevşetmekle) çözüleceği düşüncesi üzerine kuruludur. Bu doğrultuda İAB kriteri en doğal adaydır. Ancak başka "çıkar yol"lar da vardır.

Duncan Black, seçeneklerin değerlendirilmesinde tek bir dünya görüşünün temel alınması halinde Arrow'un bütün belitlerinin çoğunluk kuralı aracılığıyla sağlanacağını göstermiştir. Matematiksel açıdan söylersek, toplumsal refah işlevinin etki alanını uygun biçimde kısıtlarsak sorun yaşamayacağımız anlamına gelir. Örneğin, bir kurumun sorunlarını çözmek için iki ana dünya görüşü varsa ve kurumun başkan adayları kendi aralarında küçük farklar gösterdikleri halde görüş açısından bu iki ana yaklaşımdan birinin yakınında (odağında) bulunuyorsa, bu dünya görüşlerinden birini devre dışı bırakmak, Arrow'un kıstaslarının sağlanmasını sağlayabilecektir. Black'in getirdiği kısıt, yani "tek odaklı seçenek" ilkesi, alternatif kümede önceden belirlenmiş bir P doğrusal sıralaması olduğunu söyler. Her seçmenin gözde adayı bu sıralamada belli bir yerdedir ve bu gözde seçenekten uzaklaştıkça seçmen alternatiflerden soğur.

Gerçekten de pek çok toplumsal refah işlevi, etki alanlarındaki böyle bir kısıtlama sonucunda Arrow'un kıstaslarını sağlamaktadır. Ancak bu şekilde herhangi bir kısıtlama söz konusu olduğunda, eğer Arrow'un kıstaslarını sağlayan herhangi bir toplumsal refah işlevi varsa, "çoğunluğun oyu"nun da Arrow'un kıstaslarını sağlayacağı ispat edilmiştir.^[1] Dolayısıyla tek odaklı seçimlerde çeşitli açılardan en uygun seçim düzeneği "dereceli seçenekler" değil de "çoğunluğun oyu" olmaktadır.

Paradoksun "çıkar yol"larından biri de alternatifler kümesinin elemanlarını ikiye düşürmektir. Böylece ikiden fazla seçenek arasında seçim yapmak gerektiğinde, seçenekleri çiftleştiren ve çiftler halinde oy verdiren bir düzenek kurmak çok cazip bir seçenek olarak görülebilir. Bu seçenek ilk bakışta ne kadar cazip görünürse görünsün, genellikle İAB kıstasını bırakın Pareto verimliliği ilkesini dahi sağlamaktan uzaktır. Çiftlerin belirlenme sırası, sonuç üzerinde çok etkili olmaktadır. Bu aslında illâ ki kötü bir özellik sayılmaz. Pek çok spor dalında turnuva düzeneği (temel olarak bir çiftleştirme düzeneğidir) kullanılmaktadır. Bu durum zayıf takımlara önemli avantaj sağlamakta, dolayısıyla turnuvaya heyecan ve gerilim katmaktadır.

Arrow'un özgün çalışmasının ardından başka olanaksızlıklar ve olanaklılıklar tespit eden topyekûn bir kültür gelişmiştir. Örneğin toplumun tercihinin yarattığı toplumsal tercih sıralama düzeneğini, geçişlilik koşulunu değil de sadece döngüsel olmama koşulunu (eğer a, b'den büyükse ve b, c'den büyükse c, a'dan büyük değildir) sağlayacak şekilde zayıflatırsak Arrow'un kıstaslarını sağlayan toplumsal tercih kuralları oluşturmak mümkündür.

Ekonomici ve Nobel ödülü sahibi Amartya Sen başka iki alternatif daha sunmuştur. Hem geçişliliği zayıflatmayı hem de Pareto ilkesini devre dışı bırakmayı önermiştir. Arrow'un tüm kıstaslarıyla uyuşan ancak sadece yarı-geçişken sonuçlar üreten oylama sistemlerinin varlığını ortaya koymuştur.

Kendisi ayrıca "Pareto Liberali'nin İmkansızlığı" adında başka bir ilginç imkânsızlığı ortaya çıkarmıştır. (Ayrıntılar için Liberal Paradoksu maddesini inceleyiniz). Sen bu sonucun ayrıca Pareto optimumluğunun oylama sistemleri açısından gereksiz olduğunu gösterdiğini öne sürmüştür.

Öznitelikli yöneyden sayıl derecelemeler ve İAB özelliği

İAB özelliğinin insanlı karar verme süreçlerinde gerçek anlamda sağlanamayabilmesının sebebi iki parçalıdır:

Tercihlerin sayıl derecelenmesinin, öznitelikli bir yöneyin açıktan açığa olmasa da ağırlıklandırılmasından türetilmiş oluşu (Arrow kuramıyla ilgilenen bir kitapta okuyucuya şu sorunu çözmeye davet edilir: Bir atletizm dekatlonunu nasıl sayıl ölçüme dökersiniz; disk atmada kazanılan 600 puanı nasıl 1500 m koşuda kazanılan 600 puan ile aynı kefeye koyarsınız?)
Yeni bir seçenek, dikkatleri farklı bir özniteliğe veya öznitelik topluluğuna odaklayabilir; bu durum örtülü ağırlıklandırmayı ve dolayısıyla önceki seçeneklerin nihai sayıl derecelerini değiştirebilir. Örneğin Hilmi'ye Ankara'da ve Trabzon'da iş teklif edilmiş olsun ve Hilmi (işlerin aynı olduğunu göz önüne alarak) gece hayatının daha canlı olması nedeniyle Ankara'yı seçmiş olsun. Bu esnada bir iş teklifi de Bursa'dan gelsin. Hilmi Bursa'nın kışlarının soğuk olacağını düşünür, ancak bu anda Ankara'nın kışlarının Trabzon'dan çok daha soğuk olacağını aklına getirir, dolayısıyla ılıman iklimi nedeniyle Trabzon'da karar kılar.

Herbert Simon, politik propagandaların halka yeni fikirlerin aşılanmasında pek etkili olmadığını ortaya koyan araştırmaların "esas olay"ı kaçırdığından bahseder; politik propagandalar seçmenlerin dikkatini zaten bildikleri belli bir takım konulara çekmekte çok etkili olabilmektedir, dolayısıyla seçmenin kararlarında dikkate alması gereken ana noktaların bunlar olduğunu düşünmelerini sağlayabilmektedir.

Kaynakça

^ Campbell, D.E., Kelly, J.S., "A simple characterization of majority rule", Economic Theory 15 (2000), pp. 689–700.

Why flip a coin? : the art and science of good decisions Yazar: Harold W. Lewis, John Wiley, 1997. Seçimlerdeki tercih derecelemeleri ve beklenmedik sonuçlar hakkında çarpıcı örnekler sunuyor. Arrow's kuramını gösteriyor ancak ispatlamıyor. ISBN 0-471-29645-7

Ayrıca bakınız

Dış bağlantılar

Arrow'un İmkansızlık Kuramı'nın üç kısa ispatı6 Mart 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
Arrow'un İmkansızlık Kuramı'nın pedagojik (eğitimsel) ispatı^{[ölü/kırık bağlantı]}
Arrow’un kuramı ile Condorcet paradoksu arasındaki ilişki

[1] Campbell, D.E., Kelly, J.S., "A simple characterization of majority rule", Economic Theory 15 (2000), pp. 689–700.

[1]